С. В. Резниченко
Аналитическая геометрия в примерах и задачах

Глава 1. Некоторые сведения из элементарной геометрии

§ 1. Необходимые определения и обозначения

§ 2. Преобразование подобия. Перемещение

§ 3. Направленный отрезок. Параллельный перенос

§ 4. Сложение направленных отрезков. Композиция параллельных переносов

§ 5. Умножение направленного отрезка на число

Глава 2. Векторы. Линейные операции над векторами

§ 1. Основные определения

§ 2. Сумма векторов. Разность векторов

§ 3. Умножение вектора на число. Признак коллинеарности векторов. Векторное параметрическое уравнение прямой. Деление отрезка в заданном отношении

§ 4. Матрицы, определители, системы линейных уравнений (случаи n=2 и m= 3)

§ 5. Признак компланарности векторов. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение вектора по базису. Необходимые и достаточные условия коллинеарности и компланарности векторов. Векторное параметрическое уравнение плоскости

§ 6. Система координат. Координаты точки в системе координат. Деление отрезка в заданном отношении. Координатные уравнения прямой и плоскости

§ 7. Формулы перехода от одной системы координат к другой

§ 8. Параллельное проецирование

§ 9. Некоторые примеры

Глава 3. Скалярное произведение векторов

§ 1. Угол между векторами. Определение скалярного произведения векторов. Теорема косинусов

§ 2. Свойства скалярного произведения

§ 3. Ортогональное проецирование в пространстве. Нормальное векторное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой в пространстве

§ 4. Ортонормированный базис. Прямоугольная декартова система координат. Нормальное уравнение прямой до плоскости. Ортогональное проецирование на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве

Глава 4. Ориентация на плоскости и в пространстве

§ 1. Поворот плоскости

§ 2. Полярные координаты на плоскости

§ 3. Переход от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой

§ 4. Ориентация тройки векторов

§ 5. Цилиндрические и сферические координаты точки в пространстве

Глава 5. Комплексные числа и векторы на плоскости

§ 1. Комплексные числа и действия над ними

§ 2. Свойства действий над комплексными числами

§ 3. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел

§ 4. Геометрические интерпретации комплексных чисел. Интерпретация I

§ 5. Геометрические интерпретации комплексных чисел. Интерпретация II

Глава 6. Векторное произведение векторов

§ 1. Определение и свойства векторного произведения. Условие коллинеарности векторов

§ 2. Площадь параллелограмма, треугольника, четырех угольника

§ 3. Двойное векторное произведение. Векторное уравнение прямой в пространстве. Нормальный вектор плоскости

Глава 7. Смешанное произведение векторов

§ 1. Определение и свойства смешанного произведения. Объем ориентированного параллелепипеда. Объем тетраэдра

§ 2. Выражение смешанного произведения через компоненты сомножителей. Условие компланарности трех векторов. Координатное уравнение плоскости

§ 3. Взаимный базис

§ 4. Векторные задачи на прямую и плоскость

Задачи для самостоятельного решения

Дополнение

Глава 1. Матрицы и действия над ними

§ 1. Определение матрицы. Столбцы и строки

§ 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число

§ 3. Умножение матриц

§ 4. Транспонирование матриц

Глава 2. Определители (детерминанты) квадратных матриц

§ 1. Перестановки и подстановки

§ 2. Определение детерминанта (определителя) порядка n

§ 3. Свойства определителей

§ 4. Элементарные преобразования. Разложение определителя по строке (столбцу). Вычисление определителей

§ 5. Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Определитель произведения двух квадратных матриц. Теорема Бине — Коши

§ 6. Обратная матрица. Многочлены от квадратных матриц. Теорема Гамильтона — Кэли

Глава 3. Ранг матрицы

§ 1. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов)

§ 2. Теорема о ранге матрицы. Различные способы вычисления ранга матрицы

Глава 4. Системы линейных уравнений

§ 1. Правило Крамера

§ 2. Метод Гаусса

§ 3. Критерии совместности системы линейных уравнений

§ 4. Структура множества решений системы линейных уравнений

Задачи для самостоятельного решения