Каталог сайтов Arahus.com
назад содержание далее

ЛЕКЦИЯ 1

Материальная точка и твердое тело

Вернемся к Ньютону и вновь настроимся на его образ мысли. Если человек, не жалея сил, трудится над сложными проблемами, то можно сказать, что он стремится найти глубинное упорядочение. Яркий пример этого дает Эйнштейн; о нем мы еще поговорим. Ньютон, с одной стороны, придерживался идеи об атомном строении вещества, восходящей еще к Демокриту, но, с другой стороны, он не отбрасывал полностью и понятие эфира: ведь в его трудах нет упоминания о материальной точке. Значит, он не думал, что атомы не имеют размеров.

В «Началах» много тревожных, полных сомнения мест. Например, обсуждение понятия массы Ньютон начинает с определения объема и задает плотность. На первый взгляд, этим все ставится с ног на голову, поскольку хорошо известно, что плотность — это масса, деленная на объем, и нельзя ввести понятие плотности раньше определения массы. Действия Ньютона выглядят подозрительно, ибо неясно, как оперировать с плотностью, не имея определения массы. Но если учесть, что он придерживался атомной теории, то его изложение перестает казаться удивительным. При наличии в пространстве атомов плотность выражает их число в единичном объеме. Как определить это число — вопрос техники, а не принципа. Если в единичном объеме имеется 100 частиц, то плотность будет 100, а если 1000 частиц, то — 1000.

Суть здесь в том, что объем нельзя выбирать исчезающе малым, ибо в нем должно содержаться некоторое число атомов. Вы спросите, какая разница между бесконечно малой величиной и величиной пусть малой, но конечной? В том, что пока она конечна, сохраняется возможность по-разному переходить к пределу. Материальная точка, строго говоря, — объект с тремя степенями свободы (см. примеч. 13; понятие степени свободы вошло в обиход уже после Ньютона). Если тело не является материальной точкой, а имеет хоть малое, но конечное протяжение, то число его степеней свободы больше трех. Простейшая модель — идеально упругое тело, для построения которого надо рассмотреть тела с очень большим модулем упругости, отбрасывающие друг друга при ударе практически без деформации. Идеально упругое тело (о нем можно говорить так же, как об идеально жестком) получается в пределе при неограниченном увеличении упругости (жесткости). Фактически мы создаем здесь предельное понятие.

Среди макроскопических тел реального мира нет ни материальных точек, ни идеально жестких тел, это — предельные образы. Но при переходе к атомному миру, к микроскопическим масштабам возникает вопрос, какое из двух рассматриваемых понятий больше соответствует природе «кирпичиков», слагающих мироздание? Или, может быть, кирпичики устроены сложнее? Мы то с вами знаем, что они гораздо сложнее.

У идеально жесткого тела шесть степеней свободы (оно может вращаться). Ньютон рассматривал такие объекты, но нельзя сказать, что он до конца разработал их динамику.

Изучаемая нами механика идеально жесткого тела создана Эйлером, который вывел хорошо известные уравнения, носящие его имя (см. примеч. 14). В прошлом они вызывали у студентов трепет. Трудным казалось то, что нужно применять две системы отсчета — закрепленную на жестком теле (вращающуюся) и связанную с Землей (неподвижную) — и рассматривать задачу в этих двух системах. Решение можно быстро получить, пользуясь эйлеровыми углами (см. примеч. 15) или, что немного сложнее, величинами, похожими на введенные позднее спиноры (см. примеч. 16). Сам Эйлер, конечно, не вводил спиноров, его уравнения записаны с помощью эйлеровых углов. Чтобы проделать подобный вывод, Ньютону не хватало аналитических средств. Приблизительно в то же время были написаны уравнения движения жидкости, и Эйлер начал развивать гидродинамику, т. е. механику сплошных сред.


назад содержание далее