Вектор обозначают либо одним символом r, либо выписывают три его компоненты х, у, z; форма записи вектора одинакова в любой системе координат. Применение векторов в физике основано на том, что существуют физические величины, при изменении системы координат ведущие себя, как векторы.
Понятие вектора наиболее естественно вводится в евклидовом пространстве, ибо здесь справедлива теорема Пифагора и можно пользоваться ортогональными составляющими, а это удобно: ведь движения во взаимно перпендикулярных направлениях независимы. Совокупность трех ортогональных составляющих и образует вектор. Векторы распределены в пространстве, причем в декартовых координатах три компоненты вектора распределяются независимо друг от друга, а устанавливаемые между ними связи имеют смысл физических законов. В других системах координат соотношения между составляющими более сложные.
Находящаяся в пространстве материальная точка, как я уже говорил, движется, оставаясь сама собой. Ее перемещение можно рассматривать как в неподвижной, так и в движущейся системах отсчета (рис. 1). Поскольку точка та же самая, между ее радиус-векторами в двух системах отсчета должно выполняться соотношение r=r'+a, где а — вектор сдвига начала координат движущейся системы отсчета относительно начала координат неподвижной системы отсчета. В противном случае язык пространства не был бы универсален.
Наша материальная точка переходит в места, где ее раньше не было, т. е. она последовательно совмещается с разными элементами точечного множества, играющего для нас роль пространства. Как же мы будем различать (идентифицировать) элементы (точки) пространства? Чтобы не употреблять столь трудно произносимого слова, как идентификация, будем говорить просто о наименовании точек. Смысл этих слов ясен: например, >в системе координат, принятой нами за неподвижную, точка именуется тройкой чисел (х, у, z)
независимо от того, находится в ней частица или нет. Любая точка евклидова пространства получит имя, если х, у, z изменяются от 
до 
В другой системе координат имя рассматриваемой точки пространства задается тройкой чисел (х', у', z') — компонент радиус-вектора r'. Взаимно однозначное соответствие разных имен одной и той же пространственной точки задается формулами вида х' = х'(х, у, z,); У'=У'(х, У, z,); z'=z'(x, у, z,), в которые введено время, чтобы подчеркнуть, что имя дается точке в некоторый момент t, например t0. Тем самым точки пространства полностью идентифицируются независимо от наличия материальных тел.
При относительном движении двух систем отсчета связь между именами, получаемыми пространственными точками в этих системах, зависит от времени. В частности, это приводит к тому, что частица, покоящаяся в одной системе, может выглядеть движущейся в другой, ибо перемещение частицы означает, что с течением времени изменяются имена пространственных точек, с которыми она последовательно совмещена.
Интуитивно мы уверены, что пространство существует независимо от наличия материальных тел, например, мы думаем, что пространство над поверхностью Земли не исчезнет, если из него убрать воздух. Из окон аудитории мы видим здания, но даже если бы их не было, мы все равно представляли бы себе «на их месте» пространственные точки, имена которых можно определить. Движущийся наблюдатель, например человек в поезде, определяет пространство, пользуясь собственной системой отсчета, в которой все выглядит иначе, чем для наблюдателя вне поезда. Различие их точек зрения сводится к тому, что они по-разному именуют точки пространства, т. е. применяют разные схемы идентификации пространственных точек.