Перемена была разительной во всех отношениях. От восточных окраин Франции, от вздыбленных, поросших лесом предгорий Вогезов Пуанкаре перенесся на западное побережье, к влажному дыханию океана, к открытым зеленым лугам Нижней Нормандии; вместо слепящего мрака штолен и закопченных угольной пылью зданий контор его ждали высокие и светлые аудитории университета. Только Анри с его надежно защищенным внутренним миром, стойким к внешней стороне бытия, мог спокойно, как должное воспринять этот переломный момент своей жизненной судьбы. Но даже его, уроженца Нанси, которого трудно было удивить городской стариной, пленил старофранцузский город Кан. Нигде не видел он такого количества старинных домов, привлекающих к себе внимание выступающими башенками, аркадами и тончайшим каменным кружевом готических стен, не говоря уже о средневековом замке и многочисленных церквах — архитектурных памятниках X и XI веков. Расположенный на реке Орн, Кан был не только крупным нормандским городом, но и весьма оживленным портом. Полноводная река позволяла подходить к его причалам даже крупным морским судам.
Нанси слывет университетским городом, но Кан смело можно было причислить к самым ученым городам Франции по числу его высших и средних учебных заведений, по активности его ученых обществ. Его библиотека была одной из лучших среди провинциальных библиотек, а старейший во Франции университет насчитывал уже четыре с половиною сотни лет.
Лекции Пуанкаре не вызывали у слушателей восторга. Об этом свидетельствует Лекорню, единственный близкий его знакомый в Кане. Манера изложения у нового лектора была весьма неактивная, нерешительная. К тому же он вовсе не стремился прояснить студентам то, что ему самому казалось интуитивно понятным и очевидным. Не способствовала успеху преподавания и всегдашняя рассеянность Анри, которая в этот период особенно усугубилась. Если в Везуле его напряженная внутренняя жизнь была скрыта от окружающих, разве лишь листы тетради хранили тайну другого, писательского бытия молодого выпускника Горной школы, то в Кане следы незримых, глубинных процессов, завладевших его сознанием, выплескиваются на поверхность. Порой он невпопад отвечает на вопросы, порой попросту забывает, где он находится. Что-то неотступное, навязчивое постоянно осаждает его ум, отвлекает от повседневных дел и занятий. Весьма показателен в этом отношении рассказ Лекорню о том, как они вместе встречали новый, 1880 год.
Понимая, как одиноко Пуанкаре на первых порах в Кане, Лекорню пригласил его провести новогодний вечер У своих родителей. Анри принял приглашение и, явившись в назначенный час, повел себя в высшей степени непонятно, если не сказать невежливо. “Он провел вечер, прогуливаясь взад и вперед, — вспоминал впоследствии Лекорню, — не слушая то, что ему говорят, или отвечая с трудом и односложными словами”. Сосредоточенный на своих мыслях, обуреваемый наплывом неведомых дум, гость до такой степени замкнулся в своей внутренней уединенности, что не заметил, как пробило полночь. “...Я осторожно напомнил ему, что мы уже в 1880 году”, — рассказывает Лекорню. Будто бы разом спустившись на землю, Анри смущенно распрощался и ушел.
Что же так занимало его ум и властвовало в душе? Неужели до такой степени увлек его неоконченный роман? Последующее замечание Лекоршо проливает свет на этот вопрос. Когда несколько дней спустя они встретились на набережной порта и разговорились, Анри с невозмутимым видом произнес: “Я теперь умею интегрировать любые дифференциальные уравнения”. “Я догадываюсь, о чем он думал, переходя из 1879 в 1880 год”, — добавляет Лекорню. Оказывается, мысли Анри были обращены к дифференциальным уравнениям и методам их решения. И судя по всему — уже не первый месяц.
В области математических наук XVIII век завещал XIX веку великую проблему, которая не решена полностью и по сию пору, — интегрирование дифференциальных уравнений. Это была проблема номер один для математиков прошлого столетия, но решения ее ждали представители всего точного естествознания, потому что дифференциальные уравнения были единственной математической формой описания естественных процессов. Когда ученые хотят выразить на математическом языке движущиеся, изменяющиеся или развивающиеся явления, они вынуждены вводить в уравнения характеристики этого движения, изменения — скорости, а то и ускорения. Так появляются в науке дифференциальные уравнения, в которые величины входят не саки по себе, как в алгебраические уравнения с “иксами”, не под знаком логарифма или тригонометрической функции, как в трансцендентные уравнения, а в продифференцированном виде, в виде скоростей их изменения. Подавляющее большинство природных процессов описывается именно такими уравнениями.
Построить физическую теорию для ученых прошлого века означало прежде всего найти дифференциальные уравнения, описывающие движение всех частей исследуемой системы, будь это планеты, вращающиеся вокруг Солнца, или мельчайшие, невидимые глазу частицы газа. В начале XIX столетия Лаплас считая даже, что вся вселенная с математической точки зрения представляет собой лишь огромную совокупность дифференциальных уравнений и ничего больше. Ум, способный разом охватить и решить эти уравнения, мог бы предсказывать будущее мира. К концу XIX века дифференциальные уравнения все еще выступали основной формой представления точного знания. Поэтому умение их решать, интегрировать, как говорят математики, являлось насущной потребностью времени.
Но очень скоро ученые убедились, что они могут справиться лишь с крайне незначительным числом таких уравнений. Скрытую в них неизвестную величину не удавалось порой выразить никакой комбинацией математических функций. Уж не погоня ли это за призраком? Быть может, уравнения эти в принципе неразрешимы? Такие сомнения были отметены знаменитым французским математиком Огюстеном Коши, который в первой половине XIX века строго доказал, что при известных условиях всегда существует решение дифференциального уравнения. Подстегиваемые твердым убеждением, что искомое существует, ученые тщетно пытались отлить его в какую-нибудь знакомую математическую форму. Решение ускользало, как неясная мысль, которую не удается высказать словами. Слишком беден был математический язык науки, слишком скуден запас функций на складе математики. В дополнение к хорошо известным элементарным функциям уже были открыты и изучены некоторые новые, например гамма-функции, зета-функции, цилиндрические функции. В начале XIX века к ним присоединился новый класс функций — эллиптических. Но среди них не находилось подходящих, в которых могло бы воплотиться все богатство решений дифференциальных уравнений. Математики познали “муки слова”, которые до сих пор считались уделом мастеров поэзии и прозы.
Такую картину застал Анри Пуанкаре, когда он занялся теорией дифференциальных уравнений. Изо дня в день он ходит в университет, читает лекции, ведет занятия, принимает экзамены, гуляет по городу, встречается с немногочисленными знакомыми, почти автоматически выполняет массу неизбежных повседневных дел и терпеливо и неотступно вынашивает свои идеи. Цель ясна, да и не ему одному, но не видно к ней никаких подступов. Один за другим отпадают рождающиеся в его мозгу варианты, такие заманчивые и многообещающие на первый взгляд, но не выдерживающие сколько-нибудь пристального критического рассмотрения.
Задумчиво перелистывая как-то математический журнал, Анри заинтересовался одной статьей. Немецкий математик Лазарь Фукс тоже работает над теорией дифференциальных уравнений и много преуспел в этой области. Анри не нужно повторно читать статью, он и так сумел схватить самую ее суть. Одна мысль автора захватила его воображение: построить функции, через которые выражаются решения дифференциальных уравнений, как выражаются решения алгебраических уравнений через абелевы трансцендентные функции. Анри словно заглянул в затянутый туманной дымкой, неясный, но внушающий надежду мир. Не попытаться ли расширить таким образом наличный состав математических функций, пополнить их новыми функциями, которые позволили бы наконец выразить искомые решения дифференциальных уравнений? Он тщательно анализирует выводы немецкого математика, проверяет его выкладки и доказательства, находит в них ряд сомнительных мест. Попутно у него рождаются собственные идеи и догадки, которые тоже требуют проверки.
Как раз в это время завершался срок подачи работ на конкурс “Гран-при” по математике, объявленный Академией наук. Тема конкурса была как нельзя более подходящей: усовершенствовать в некоторых пунктах теорию интегрирования линейных дифференциальных уравнений. Забыта тетрадь с неоконченным романом, который Анри дописывал первое время после переезда в Кан. Отныне он одержим только одной идеей, которой отдает все свои силы и время. Призрачный, туманный мир все больше проясняется перед его внутренним взором. Уже 28 мая Пуанкаре представляет на конкурс свой мемуар1, содержащий анализ и дальнейшее развитие идей, изложенных Л. Фуксом.
Большой приз по математике за 1880 год присудили Жоржу Альфану, работа Пуанкаре была для этого еще слишком незрелой и слишком поспешной. Ведь он только коснулся благодатного источника, породившего в нем могучий каскад идей. В его мемуаре лишь эскизно намечался тот грандиозный план, который столь блистательно был осуществлен им в последующие годы. Но оригинальность и плодотворность его идей не ускользнули от опытного, проницательного взора Шарля Эрмита. В своем докладе по работам, поданным на конкурс безымянными, он особо отметил исследование, девизом которого служило латинское изречение. Глава французской школы математиков призывал неизвестного автора неуклонно следовать по избранному им пути, который представлялся ему в высшей степени обнадеживающим. Это была работа Анри Пуанкаре.
1 Так называют во Франции научные статьи.