"Пуанкаре начинает как Коши", - одобрительно заметил как-то один из ведущих профессоров Сорбонны. Он имел в виду широкое разнообразие работ молодого математика, опубликовавшего статьи по фуксовым функциям, по теории обыкновенных дифференциальных уравнении, по теории дифференциальных уравнений с частными производными, по алгебре, по теории чисел и по многим другим разделам математики. Но некоторые его работы невозможно было отнести к какому-либо разделу этой науки, так как раздела такого не существовало. Он только еще рождался в заметках и мемуарах Пуанкаре.
Занимаясь поисками новых (фуксовых) функций, с помощью которых можно было бы представить решение линейного дифференциального уравнения, Пуанкаре уже осознавал ограниченные возможности такого представления. Полученная формула решения позволит для любого момента времени рассчитать положение и скорость тела, движение которого описывается дифференциальным уравнением. Ну а если этого недостаточно? Если знание числовых характеристик движения в отдельных точках не удовлетворяет исследователя и ему нужно объять мысленным взором сразу весь путь, проходимый телом? Именно такая потребность возникает во многих прикладных, практически важных задачах. Например, зная положение и скорость кометы только в отдельные моменты времени, не всегда можно ответить на вопрос: вернется ли она в будущем, и если вернется, то когда именно? Для этого нужно представить себе ее движение в целом, иметь сведения о том, замкнут ее путь или же начало и конец его теряются в глубинах вселенной. В этом случае чисто качественная информация о характере движения гораздо важнее отдельных количественных показателей.
Если решение дифференциального уравнения выражается достаточно простой формулой, то немного потребуется усилий для того, чтобы воспроизвести по этой формуле воображаемую кривую, описываемую движущимся телом, или хотя бы осознать характерные особенности его движения. Но когда сталкиваешься со сложными трансцендентными функциями, да еще решение представляется замысловатой комбинацией этих функций, совсем не так легко представить себе, каков же проходимый телом путь. Получается парадоксальная ситуация: хоть уравнение проинтегрировано и решение записано в виде формулы, исследователь ничего не может сказать о движении в целом. Такие формулы хороши только для расчетных работ. Мало того, далеко не для всех дифференциальных уравнений удается найти формульную запись решения. Так не попытаться ли извлечь все качественные сведения о движении прямо из самого дифференциального уравнения, минуя непроходимые порой трудности интегрирования?
До этого никому и в голову не приходила столь дерзкая мысль. У Пуанкаре она возникла, по-видимому, как необычный аспект идеи, высказанной в свое время Брно и Буке: судить о свойствах решения дифференциального уравнения непосредственно по самому уравнению. Он уже использовал этот подход во время поисков фуксовых функций, определив таким образом, что неизвестные функции должны быть периодическими функциями особого рода. Теперь требовалось нечто иное: не решая дифференциального уравнения, только по его внешнему виду выяснить геометрию определяемого им пути движения, чтобы можно было предсказать его форму, найти выпуклость кривой в течение всего периода движения, установить область пространства, внутри которого движение происходит, распознать, периодично движение или нет. Что-то вроде графологии, которой так увлекался муж Алины, философ Эмиль Вутру, с той лишь существенной разницей, что в почерке черты характера человека проявляются случайным образом, в то время как в дифференциальном уравнении сконцентрирована вся первичная информация о движении тела. Этот искусный обходной маневр - вместо сложной, а то и просто невыполнимой операции интегрирования заполучить сразу общий вид кривой, представляющей решение дифференциального уравнения, - показывает, как совершенно по-новому умел Пуанкаре видеть классические задачи математики и механики, к каким весьма нетрадиционным проблемам умел он их сводить.
Математики уже знали, что поведение кривой, определяемой дифференциальным уравнением, будет различным в зависимости от того, рассматривается ли она в своей обычной, ничем не примечательной точке или в какой-то особой точке, в которой возможны некоторые аномалии. Через обычные точки кривая проходит плавно и монотонно, словно рельсовый путь. Особая точка уподобляется узловой станции, стрелке или тупику. Чтобы ознакомиться с железнодорожным маршрутом, достаточно простого перечисления встречающихся на пути следования станций и отходящих от основной магистрали веток. Точно так же, чтобы представить себе всю кривую в целом, нужно знать, как расположены ее особые точки и что происходит в этих точках с кривой. Тогда легко проследить весь непрерывный путь от одной особой точки к другой. Изучить кривую по определяющему ее дифференциальному уравнению означало прежде всего научиться извлекать из этого уравнения всю информацию об особых точках. С решения именно этой задачи и начал свои исследования Пуанкаре.
Еще в докторской диссертации и в одной из статей 1880 года он уделяет внимание особым точкам. Но только сейчас, в Париже, Пуанкаре по-настоящему глубоко исследует этот вопрос в серии работ, озаглавленных: "О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями". Первый и второй мемуары вышли в декабре 1881 года и в августе 1882 года. В этих работах были заложены идеи и методы, составившие содержание нового раздела математики. Название ему Дал сам Пуанкаре: качественные методы теории дифференциальных уравнений. До него этот кардинально новый подход никем даже не затрагивался.
Проанализировав множество особых точек различного рода, он приходит к заключению, что все они сводятся к четырем основным видам: седло, фокус, центр и узел. Это была первая классификация и первые названия, которые сохранились до наших дней. Различаются эти особые точки тем, как ведут себя кривые в их ближайшей окрестности. В точке, которая получила название "седло", две кривые, имеющие вид сломанных под углом прямых, соприкасаются как раз вершинами углов. Остальные кривые через эту точку не проходят, а, словно струи воды, плавно загибаются в углах, ограниченных прямыми линиями, как стенками. Зато в "узле" сходятся сразу все кривые, попадающие в его окрестность. На "фокус" кривая наматывается подобно спирали или же, наоборот, раскручивающейся спиралью выбегает из этой точки. От "центра" кривые расходятся изолированными замкнутыми кольцами, как круги на воде. "Я изучил затем распределение этих особых точек в плоскости, - пишет Пуанкаре о следующем этапе своей работы. - Я показал при этом, что они всегда существуют (на конечном или бесконечном расстоянии) и что всегда выполняется простое соотношение между числом седел, фокусов и центров..." Всевозможные варианты поведения кривых, представляющих решения дифференциальных уравнений, могли теперь быть проиграны без особых затруднений: либо кривые замкнутыми линиями охватывают центр, либо они неограниченными спиралями навиваются на фокус, либо бесконечно удаляющаяся в одну сторону кривая упирается другим своим концом в узел, либо же кривая, исходящая из узла или фокуса, заканчивается в другом узле или фокусе. Была еще одна возможность, для описания которой Пуанкаре пришлось ввести новое понятие - предельный цикл.
Так была названа им особая замкнутая кривая, представляющая одно из решений дифференциального уравнения. Все другие кривые, определяемые этим уравнением, проходя вблизи предельного цикла, наматываются на него либо изнутри, либо снаружи. Неограниченно приближаясь к нему, они тем не менее никогда его не пересекают и даже не соприкасаются с этой недосягаемой для них кривой. Новое понятие оказалось не менее важным, чем понятие особой точки. Если известен предельный цикл, можно быть твердо уверенным, что кривая навсегда останется либо внутри его, либо вне, поскольку перейти эту границу она не может, как бы близко к ней ни подходила. Это значит, что можно указать пределы перемещения тела - либо верхние, либо нижние. Доказав, что число предельных циклов всегда конечно, не считая некоторых исключительных- случаев, Пуанкаре разработал способы их обнаружения и дад общий метод для определения их количества.
Перед математиками открылись новые, совершенно необычные возможности. Все богатство решений некоторых видов дифференциальных уравнений становилось наглядным и легкообозримым, словно своеобразный топографический план, на котором вместо возвышенностей и котловин обозначены узлы и фокусы, а вместо линий уровня нанесены предельные циклы. Даже не зная решения дифференциального уравнения, можно было теперь делать выводы о характере движения. Геометрия решения шла впереди его аналитического, формульного представления. Впереди или рядом, потому что оба метода исследования - аналитический и качественный - не подменяли, а дополняли друг друга. Своим открытием фуксовых функций Пуанкаре уже отдал дань старому, аналитическому методу исследования дифференциальных уравнений, обогатив и расширив его возможности. Теперь им был создан еще один метод - качественный, которому предстояло большое будущее.
Вслед за первыми двумя мемуарами, в которых развивалась качественная теория дифференциальных уравнений первого порядка, последовали два других - в 1885 и в 1886 годах, где Пуанкаре рассматривает уже более сложные дифференциальные уравнения второго порядка. В последующие десятилетия математики не раз дополняли и обобщали его результаты, начиная с работ норвежского ученого Бендиксона, который в 1901 году использовал в качественных исследованиях методы теории множеств. Но ничего существенно нового из основных принципов и идей добавлено не было, настолько полной и всеобъемлющей была качественная теория в трудах Пуанкаре. Исключение составила теория центров, изложенная в третьем мемуаре. Она была во многом перекрыта исследованиями русского математика А. М. Ляпунова, который благодаря своим фундаментальным работам по теории устойчивости считается наряду с Пуанкаре создателем качественной теории дифференциальных уравнений.