Юбилейные торжества продолжались четыре дня. На следующее утро академики присутствовали на праздничном представлении в театре "Комеди Франсез". А вечером для них был устроен раут в Елисейском дворце. Миновав почетный караул, выстроившийся по обе стороны лестницы, гости входили в приемный зал, где их встречал президент республики Ф. Фор со своей свитой. Прибывшие по очереди представлялись президенту, который всем одинаково улыбался и подавал руку. Пуанкаре обратил внимание, что приглашенных здесь было меньше, чем на приеме у Раймона. Да и сам прием во дворце прошел куда скромнее, без какого бы то ни было представления или концерта. Но именно поэтому Анри показалось намного уютнее в небольших, но щедро украшенных гобеленами и декоративными растениями залах дворца.
Президент, высокий, плотный и несколько сутуловатый, расхаживал среди гостей, то и дело потирая свои руки, словно был чем-то весьма доволен. (Кто-то рядом с Пуанкаре заметил вполголоса, что господин Фор "умывает руки после своего очередного политического хода".) Сопровождали его пять-шесть офицеров разных чинов. "Почетная свита или мера предосторожности?" - гадал Пуанкаре. Немногим больше года прошло с тех пор, как президент Сади Карно пал от руки анархиста. А еще за полгода до этого произошел взрыв бомбы в зале заседаний Палаты депутатов. Вспышка анархо-террористической деятельности охватила страну. Взрывы бомб гремели в кафе, в церквах, в полицейских участках. Политический горизонт был весьма неспокойным, и это очень волновало Эрмита. Старый математик пребывал в тревожном, возбужденном состоянии. Пуанкаре так и не решился обсуждать с ним свои топологические идеи. Ему хорошо была известна та неприязнь, которую Эрмит испытывал к геометрическим исследованиям, поэтому на одобрение его он не рассчитывал.
Следующую свою работу по топологии Пуанкаре опубликовал лишь в 1899 году. Это было первое из тех пяти дополнений к основному мемуару "Analysis situs", которые вышли в свет до 1904 года. В них автор встал уже на комбинаторную точку зрения, введя широко известный ныне в топологии метод симплициального разбиения или триангуляции. Идея его заключается в том, что на поверхности изучаемой фигуры наносится сетка с треугольными ячейками. Это позволяет успешно применять для ее топологического исследования эффективные средства, разработанные большей частью самим Пуанкаре.
Еще Л. Эйлером была высказана замечательная теорема о многогранниках: если к числу вершин любого многогранника прибавить число его граней и вычесть из этой суммы число ребер, то в итоге всегда будет получаться цифра два. Метод триангуляции позволяет обобщить теорему Эйлера на любую фигуру, даже на округлую, ведь нарисованные на ее поверхности треугольные ячейки можно считать гранями воображаемого многогранника. Расчеты по формуле Эйлера снова дадут цифру. Каждой внешней форме тела можно сопоставить, таким образом, число, топологический инвариант, значение которого определяется только видом поверхности. Для сферы и тора, например, эти числа различны. Пуанкаре обобщил теорему Эйлера на многомерные фигуры, то есть доказал формулу связывающую число вершин, ребер и граней непредставимого воображением многогранника в многомерном пространстве. И в многомерной геометрии появился числовой топологический инвариант, предельно простой по смыслу и удобный в употреблении.
Современного читателя топологических работ Пуанкаре поражают удивительная завершенность, законченность, довольно-таки неожиданная для периода младенчества этой науки. Причем законченность не в смысле доскональности и совершенства математических доказательств, а в смысле точности и полноты введенных им понятий и методов. Изложенные в этих статьях идеи в течение всех последующих десятилетий питали топологию своей живительной силой. Следуя за новаторской мыслью Пуанкаре, многочисленные исследователи развили в математике новое мощное и обширное направление, напоминающее ныне густо ветвящееся дерево. "Величайший представитель классической математики "взорвал изнутри" ее традиции и открыл доступ в нее не только новым методам исследования, но, что, может быть, еще важнее, и новым способам видеть вещи и интересоваться ими", - пишет, академик П. С. Александров. Однако в конце XIX века и несколько позже рядом с ослепительным триумфом небесной механики новоотстроенное здание никох не известной еще математической дисциплины выглят, совсем не впечатляюще. По сравнению с другими успеха ми Пуанкаре "Analysis situs" кажется его современникам несравненно более скромным достижением. Даже Эмиль Пикар, хорошо осведомленный о глубинных течениях творческой мысли своего друга, в обзорном докладе 1913 года о его математических работах ни словом не упоминает эти статьи. И только позже, с дистанции прошедших десятилетий, ученые смогли по достоинству оценить всю грандиозность топологических построений Пуанкаре.
Но топология - это всего лишь один из многих полюсов его тяготения в тот период. Научное творчество Пуанкаре движется сразу по нескольким руслам, в нем бьют сразу несколько обособленных потоков. Не исчерпывается оно даже таким громадным и многообразным трудом, как "Новые методы небесной механики". В многолетнюю работу над этим фундаментальным сочинением вторгаются другие научные интересы, никак не связанные с небесной механикой. Весьма занимает его ум, например, одна знаменитая математическая проблема, оказавшаяся довольно крепким орешком для крупнейших математиков. В свое время Лежен Дирихле и Берпгардт Риман, основываясь на интуитивных соображениях, утверждали, что всегда существует решение краевой задачи для уравнения Лапласа, дифференциального уравнения с частными производными. Простые физические соображения внушали такую мысль, поскольку для соответствующих этой математической задаче реальных примеров непременно должен был наблюдаться какой-то результат. Это утверждение, облеченное в сложную математическую форму, легло в основу принципа Дирихле. Ученые свободно пользовались этим принципом в своих теоретических изысканиях, уверенные в его справедливости.
Так продолжалось до тех пор, пока К. Вейерштрасс, заинтересовавшийся этим вопросом, не подверг эту необоснованную уверенность сокрушительной математической критике. Его выводы повергли математиков в смятение. Весьма важный и широкоупотребительный принцип Дирихле сразу стал камнем преткновения. Строго доказать этот принцип никто не мог, а применять, как и ныне, не утруждая себя его обоснованием, казалось уже неправомерным. Не будь он столь важным и необходимым от него давно бы отказались, столь велики были трудности, связанные с его доказательством. Но принцип Дирихле с успехом использовался в задачах гидродинамики, в теории упругости, в теории распространения тепла в теории электричества, в теории ньютоновского притяжения и в других прикладных теориях. Время шло, а решение проблемы не приходило. Математики начали уже терять надежду на спасение столь ценного для них средства исследования. Карл Нейман сетовал на то, что принцип Дирихле, "такой красивый и имеющий такие важные приложения в будущем, навечно исчез из поля зрения".
Пуанкаре приступил к этой труднейшей проблеме в самый разгар своих небесномеханических увлечений. В 1890 году вышел в свет его мемуар, в котором он доказал существование функции, удовлетворяющей условиям задачи Дирихле, то есть доказал возможность ее решения. Добиться успеха помог ему весьма остроумный и оригинальный математический метод, названный автором методом выметания. Так впервые был обоснован принцип Дирихле для довольно широкого класса задач. "Одного этого исследования, независимо от всех других, было бы, на мой взгляд, достаточно, чтобы доставить автору почетную известность", - заявил видный советский математик, академик В. А. Стеклов.
В 1894 и 1896 годах появляются еще два больших мемуара Пуанкаре, посвященных решению дифференциальных уравнений с частными производными. В них автор решает задачи о распределении теплоты в твердом теле, о звуковых частотах, издаваемых вибрирующей мембраной. В них же он применяет расширенный им метод Неймана для решения задачи Дирихле. Эти исследования привели его к открытию новых функций, которые называются теперь фундаментальными функциями Пуанкаре.
В последнем десятилетии XIX века академик Пуанкаре демонстрирует наиболее щедрую отдачу идей, несмотря на завидное непостоянство интересов. Стремительными переходами от вопроса к вопросу, от проблемы к проблеме отмечен этот период его научной деятельности. Сегодняшние темы его научных работ непохожи на вчерашние и не имеют ничего общего с теми, что завладеют его умом завтра. Такие различные по характеру и содержанию, они накладываются друг на друга, совмещаясь во времени, конкурируют в его сознании и оспаривают друг у друга драгоценные часы его творчества.
Постоянная потребность видеть новое была отличительной чертой характера Пуанкаре. Для него гораздо важнее то, что будет, чем то, что есть. Поэтому он вечно в пути, вечно в погоне за убегающим горизонтом, за недостижимой во всей своей полноте и во всем своем многообразии научной истиной. Мысль его всегда нацелена вцеред, в еще не наступивший день, как будто она стремится опередить саму себя, едва назревшие свои решения. Только что Пуанкаре исследовал периодические движения небесных тел, и вот уже внимание его приковано к доказательству теоремы Клаузиуса в термодинамике; не успев закончить обоснование принципа Дирихле, он уже публикует основополагающий труд по топологии. Головокружительная смена стилей и методов, тем и теорий вызывает в воображении образ всадника на горячем, нервном скакуне.
Некоторые из хорошо знавших Пуанкаре современников свидетельствовали, что когда он чувствовал интерес к проблеме, то включался в работу легко и непринужденно. Именно в такие минуты с наибольшей силой проявлялась его ставшая уже легендарной рассеянность. Зато с большим трудом сбрасывал он умственное напряжение, если решение задачи не было еще завершено. Во время вынужденных перерывов его творчество продолжалось подсознательно даже в часы отдыха. Поэтому Пуанкаре, страдавший бессонницей, избегал работать поздно вечером, после ужина. Если же тема не привлекала его, то он не мог чисто волевым усилием заставить себя трудиться над ней. Собственная незаинтересованность была для него самым непреодолимым препятствием в научной деятельности. Впрочем, интересы ученого были столь широки, что такое случалось нечасто.
С 1893 года Пуанкаре можно было встретить в небольшом зале Института Франции, где заседало Бюро долгот. Его выбрали членом этого авторитетнейшего научного учреждения. И это не было простой данью быстро растущему престижу знаменитого ученого. Он становится одним из наиболее деятельных участников проводимых этой организацией мероприятий. В октябре 1895 года на одном заседании заслушивается доклад Пуанкаре о магнитной съемке на всех морях, предпринятой инициативе Бюро долгот и Морского министерства. В 1899 году он был избран президентом этого прославленного учреждения, членом которого состоял великий Лаплас.
В 1901 году выходят в свет две его статьи о гравиметрических измерениях и об отклонениях от вертикали в геодезических исследованиях. Геодезия какой-то своей гражью примыкает к обширному математическому миру, и эти работы не стояли в стороне от его основного научного творчества. Известно, что великий Гаусс, "гёттингенский колосс", к важнейшим своим результатам по дифференциальной геометрии и теории поверхностей пришел от практических задач, которые ему приходилось решать при геодезической съемке Ганноверского королевства. Точно так же геодезические и картографические работы Бельтрами привели его к исследованиям по дифференциальной и неевклидовой геометрии. Но для Пуанкаре те задачи, которые входили в компетенцию Бюро долгот, сами по себе представляли непосредственный интерес. Когда был предложен проект об уточнении длины дуги меридиана, французское правительство передало его на рассмотрение Пуанкаре, который представил самый детальный отзыв, обсудив даже финансовую сторону дела. В начале XX века он руководит деятельностью геодезической экваториальной экспедиции, выполнявшей новые, более точные измерения дуги меридиана, не проводившиеся с XVIII века.
Порой сугубо математические исследования приводят Пуанкаре к решению прикладных задач, а те, в свою очередь, привлекают его внимание к новым математическим проблемам. Так, например, удачно применив расширенный им метод Неймана к уравнению Лапласа, он решил исследовать этим же математическим приемом равновесие и движение морей. Над задачей этой бились многие поколения ученых, начиная с самого Ньютона, разработавшего первую статическую теорию приливов. Лорд Кельвин, развивая эту статическую теорию, получил явные несообразности. По его вычислениям получалось, что упругие постоянные твердого ядра Земли должны превосходить упругие постоянные стали. Проанализировав его решение, Пуанкаре указал, как же следует внести дополнения в расчеты. Но с этими исправлениями математическая теория приливных колебаний морей существен" усложнилась.
В двух своих статьях 1896 года о равновесии и движении морей Пуанкаре возлагает надежды на теорию интегральных уравнений, которая должна принести решение задачи, столь долго испытывавшей терпение исследователей. С этого момента часть его усилий направлена в эту новую, весьма не разработанную еще область математики В круг его внимания, помимо дифференциальных уравнений, попадает еще один математический объект - интегральные уравнения. Все первое десятилетие XX века у него будет сохраняться к ним интерес.
Математическое отделение Академии наук состояло из пяти секций: геометрии, механики, астрономии, физики, географии и навигации. До этого времени у Пуанкаре были все основания, чтобы числиться по любой из первых четырех секций. Новые его работы по геодезии и теории морских приливов давали ему право войти в пятую секцию. Широта его интересов вполне совмещалась с широтой охвата научных проблем математическим отделением академии, а последняя, в свою очередь, определялась запросами той эпохи. На примере многих работ Пуанкаре легко проследить, как его исследования, порой кажущиеся весьма отвлеченными, на самом деле подсказываются потребностями прикладного характера. Но от самого Пуанкаре можно услышать как будто бы иное мнение. "...Я не становлюсь на точку зрения тех лиц, которые ценят в науке только ее прикладную часть. Мне не надо добавлять, что я не разделяю такой точки зрения", - пишет он в одной из своих статей. В другом случае он заявляет еще более категорично: "Наука, созданная исключительно в прикладных целях, невозможна; истины плодотворны только тогда, когда между ними есть внутренняя связь. Если ищешь только тех истин, от которых можно ждать непосредственных практических выводов, то связующие звенья исчезают и цепь разрушается". Говоря о формуле "наука для науки", он добавляет, что это стоит тезиса "жизнь для жизни" или "счастье для счастья".
Как совместить эти взгляды с его собственным творчеством? Противоречия тут нет. Пуанкаре действительно считал решение прикладных задач важнейшим фактором развития науки, но никогда не ограничивал научные запросы узкоутилитарными, материальными потребностями отвергает примитивно понимаемый, деляческий практицизм, приземляющий научное творчество и иссушающий его душу. В то же время не кидался он и в другую крайность, но ратовал за сугубо абстрактные исследования оторванные от насущных задач познания, хотя именно так его порой понимали. Даже математика, самая абстрактная из всех наук, не может, по его мнению, отвернуться от окружающего мира. "Нужно было бы полностью забыть историю науки, чтобы отрицать постоянное и самое благотворное влияние на развитие математики стремления познать природу, - говорит Пуанкаре с трибуны I Международного математического конгресса. - Чистый математик, который забыл бы о существовании внешнего мира, был бы подобен живописцу, умеющему гармонически сочетать цвета и формы, но лишенному натуры, модели, - его творческая сила быстро иссякла бы". И действительно, задачи, которые привлекают его внимание, не вырастают сами из себя; корни их тесно переплетены с самыми животрепещущими, а порой и просто практическими проблемами познания. Даже самые отвлеченные, казалось бы, образы топологии рождены потребностью качественного изучения сложных небесномеханических задач. Каждое открытие Пуанкаре - это дитя необходимости и вдохновения.