Математика и естествознание

Каждый из нас впервые обнаруживал мощь математических рассуждений в их простейшей форме, когда знакомился с числами и их использованием. Все мы по воспоминаниям о нашем собственном детстве и из опыта воспитания наших детей представляем себе, как обычный счет из детской игры постепенно находит себе более осознанное применение в качестве мощного инструмента для упорядочения множества вещей и событий, инструмента, который выражается в правилах действий — сложения, вычитания, умножения и деления. Подобным же образом упоминание о нашем обучении элементарной математике вызывает в нашей памяти чудесные впечатления ранней юности, когда мы узнавали о способах измерения расстояний и высоты деревьев с помощью простых геометрических построений, которые применялись еще древними жителями Египта и Месопотамии с такой осведомленностью Б геодезии и астрономии.

Роль изучения математики в развитии логического мышления, не-сомненно, невозможно переоценить. Мы должны сознавать, что каж-дый учащийся проходит своим собственным умом, хотя и в гораздо более легких условиях и с соответственно большей скоростью, шаг за шагом весь тот величественный путь, который человечество проделало и вымостило в течение веков. Важной вехой этого пути были достижения Древней Греции, в которой одновременно с непревзойденным процветанием искусств предпринимались попытки построить математическую пауку на фундаменте четко сформулированных логических принципов, причем эти попытки оказались настолько успешными, что и сейчас вызывают наше восхищение и представляют собой вечный вызов.

Мне нет необходимости подчеркивать, сколь бесценный образец для тренировки строгости аргументации по-прежнему представляют собой начала Эвклида и как много нам дало глубокое изучение геометрических пропорций, которое привело Эвдокса к различению так называемых рациональных и иррациональных чисел, явившемуся основой еще более широких математических обобщений. То обстоятельство, что греческим философам были известны парадоксы, встречающиеся в проблемах, связанных с бесконечными последовательностями (как, например, комическая история о состязании в беге между Ахиллесом и черепахой), повышало требования к строгости математических доказательств. Поучительной иллюстрацией в этом отношении является недоверие Архимеда к методам, родственным современному исчислению бесконечно малых, которые он использовал при первом выводе своих знаменитых формул объема пирамиды и сферы.

Осознание роли математики как руководящего принципа в натур-философии также восходит к времени древних греков. Всем известно, как подчеркивал Пифагор, важность простых численных соотношений в музыкальной гармонии и в космологии или какую роль в изучении правильных многогранников сыграло стремление Платона к идеалу красоты и совершенства. Среди имеющих непреходящее значение вкладов греческих математиков в физическую науку следует особо упомянуть законы равновесия опертых и плавающих тел, которые Архимед с его безошибочной интуицией обосновал простыми аргументами симметрии и баланса. Однако в трактовке динамических задач долго оставались большие трудности на пути исключения аргументов, связанных с представлением о воздействии, оказываемом извне на наши движения, и о неких целях, находящихся за пределами наших повседневных действий.

Освобождение от аристотелева подхода к динамике, как известно, впервые произошло в эпоху Возрождения, когда Галилей осознал эле-ментарный характер равномерного движения и применимость представления о воздействии силы лишь к случаям изменения такого движения. На этой основе Ньютон построил чудесное здание классической механики, которая благодаря своему могуществу и широте, а также удобству выполнения математических расчетов стала идеальным образцом научного описания и привела к так называемой механистической картине природы. Кроме того, из аналитической геометрии Декарта возник очень удобный математический инструмент в виде дифференциального исчисления, в которое сам Ньютон, в равной мере выдающийся физик и математик, внес столь фундаментальный вклад.

Это революционное развитие породило чрезвычайно тесную связь между физическими и математическими исследованиями; открытия в физике стимулировали работу математиков, а математические абстракции и обобщения в свою очередь способствовали прояснению физических проблем. В качестве типичного примера можно вспомнить, как изучение явления теплопроводности побудило Фурье заняться разработкой гармонического анализа, который до наших дней остается важным разделом чисто математических исследований и в то же время оказывается все в большей степени незаменимым инструментом во многих областях физики. Мы можем также упомянуть взаимосвязь между фундаментальными результатами Фарадея в области электричества и магнетизма и теорией Максвелла электромагнитных полей, которая вызвала развитие таких математических дисциплин, как векторный и тензорный анализ, оказавшихся столь полезными во многих разделах физической науки.

Очень внушительный обзор мощных средств, которыми располагают сегодня физики благодаря изобретательной деятельности математиков прошлых столетий, представлен в великолепном трактате Куранта и Гильберта о методах математической физики. В этом труде, неоценимом для каждого студента, ясно излагаются логические обобщения, оказавшиеся исключительно плодотворными не только для изучения разнообразнейших проблем в рамках классической физики, но и способствовавшие прояснению новых вопросов, с которыми мы столкнулись в ходе современного развития физической науки.

Новый, более широкий подход к описанию и пониманию явлений природы начинается с осознания ограниченной применимости самих понятий абсолютного пространства, времени и причинности, на которых основывалась механическая картина природы. Первым толчком к этому, как известно, послужили утонченные оптические измерения. С их помощью было показано отсутствие эффектов, ожидаемых в связи с движением Земли вокруг Солнца, и установлено, что наблюдатели, движущиеся друг относительно друга с большими скоростями, воспринимают явления по-разному. Фактически такие наблюдатели не только получают различные представления о положении и форме твердых тел; события в разных точках пространства могут казаться одному из них одновременными, в то время как другой будет считать их происходящими в разные моменты времени.

Осознание того, в какой степени описание физического явления зависит от точки зрения наблюдателя, не вызвало замешательства или затруднений, но побудило заняться выяснением фундаментальных физических законов, общих для всех наблюдателей. Вряд ли необходимо напоминать об открытии Эйнштейном универсального соотношения между массой и энергией или глубоком переосмыслении идей Ньютона на основе подчеркивания эквивалентности действия гравитационных полей и ускорения системы с точки зрения наблюдателя. Общая теория относительности, которая расширила наш кругозор и придала нашей картине мира такое единство, какого ранее нельзя было и вообразить, несомненно, является одним из величайших триумфов рационального человеческого мышления.

Для обсуждаемой мною темы принципиальный интерес представляет тот факт, что математические обобщения, которые развивались вне связи с практическими применениями, а просто для достижения логической гармонии, оказались очень удобным инструментом для осуществления грандиозной программы Эйнштейна. Отказавшись не только от представлений об абсолютности пространства и времени, но и от эвклидовой геометрии в качестве основы физики, Эйнштейн обратился к рассмотрению криволинейной четырехмерной римановой метрики, что автоматически привело его к объяснению гравитационных эффектов и особой роли скорости света, которая представляет собой верхний предел логически последовательного применения скорости как физического понятия. Математики к этому времени уже постепенно привыкли к абстракциям такого рода, разрабатывая неэвклидову геометрию и ее различные модели.

Несмотря на все эти новые особенности, в теории относительности оказалось возможным сохранить и даже уточнить детерминистическое описание, характерное для классической физики. Однако в последние десятилетия в результате исследований атомной структуры материи, проведение которых стало возможным на основе новейших достижений экспериментальной техники, обнаружилась внутренняя ограниченность самого представления о причинности. Интересно отметить, что, хотя предположение об ограниченной делимости вещества восходит к древности, оно до недавнего времени рассматривалось как гипотеза, для которой не могут быть получены никакие прямые подтверждения. Большой прогресс химии и физики за последние столетия сделал атомистические идеи еще более плодотворными; в частности, оказалось возможным разработать методы математической статистики для описания усредненного поведения систем, состоящих из большого числа частиц, и таким образом объяснить эмпирически установленные законы термоди-намики. Важным шагом в этом направлении было выяснение Больцма-ном общего соотношения между понятием энтропии и вероятностью того, что такая система характеризуется определенной степенью упорядоченности.

Это огромное достижение явилось ключом к анализу закономер-ностей теплового излучения, который был проведен Планком и в первый год нашего столетия привел его к эпохальному открытию универсального кванта действия. Это открытие Планка, говорившее о том, что все физические процессы характеризуются несвойственными механистической картине природы чертами прерывности, вскрыло тот факт, что законы классической физики являются идеализациями, которые применимы к описанию явлений лишь тогда, когда участвующие в них величины размерности действия достаточно велики, чтобы можно было пренебречь величиной кванта. В то время как в явлениях обычного масштаба это условие выполняется с большим запасом, в атомных процессах мы стал-киваемся с закономерностями совершенно нового типа, которые не укладываются в рамки наглядного детерминистического описания. Прекрасными иллюстрациями этому служат известные дилеммы относительно свойств электромагнитного излучения и материальных частиц, основанные на том обстоятельстве, что в обоих случаях для полного описания экспериментальных данных в разной мере необходимы такие противоречащие друг другу картины, как волны и частицы.

Здесь мы с очевидностью оказываемся в такой ситуации, когда не-возможно однозначно определить атрибуты физического объекта неза-висимо от способа наблюдения явления. В частности, оказывается недопустимым пренебрегать взаимодействием между объектом и измерительным прибором, что было характерно для механистической картины природы. Эта ситуация потребовала нового пересмотра тех принципов, которые лежат в основе описания и понимания результатов физических наблюдений. С одной стороны, мы должны сознавать, что как бы далеко ни выходили подобные факты за пределы явлений, рассматриваемых классической физикой, все же остается очевидной необходимость описания экспериментальных установок и данных наблюдений на обычном языке, в должной мере дополненном: терминами технической физики. С другой стороны, именно необходимость объяснять действие измерительной аппаратуры на основе классических понятий в принципе исключает в соответствующих квантовых явлениях точный учет воздействия измерительных приборов на атомные объекты.

Это обстоятельство, в частности, делает невозможным произвольное сочетание пространственно-временного описания с динамическими законами сохранения, которое являлось основой детерминистического описания классической физики. Фактически всякое однозначное применение понятий пространства и времени предполагает использование какой-либо экспериментальной установки, в которой происходит принципиально неконтролируемая передача импульса и энергии к приборам, подобным измерительным стержням и синхронизированным часам, которые необходимы для установления системы отсчета. И наоборот, всякое описание явления, в котором явно учитывается сохранение импульса и энергии, вызывает принципиальную необходимость отказа от детального анализа пространственно-временного поведения.

Принципиальная неделимость соответствующих квантовых явлений находит свое логическое выражение в том факте, что всякая попытка четко определенного подразделения потребовала бы таких изменений в экспериментальной установке, которые сделали бы невозможным наблюдение самого явления. В этих условиях не удивительно, что результаты наблюдений явления с помощью различных экспериментальных установок кажутся противоречащими друг другу, когда их пытаются совместить в единую картину. Такие явления можно назвать дополнительными в том смысле, что они представляют собой равнозначные аспекты доступных нам сведений относительно атомных объектов и лишь в совокупности исчерпывают эти сведения. Понятие дополнительности не подразумевает произвольного отказа от привычных нам требований, предъявляемых ко всякому физическому объяснению, но просто связано с нашим положением в качестве наблюдателей в этой новой области.

В действительности, чтобы построить разумное обобщение класси-ческой механики, которое дает полное объяснение большому числу разнообразных явлений на основе дополнительного способа описания, потребовались объединенные усилия целого поколения физиков-теоретиков. В этом квантовомеханическом формализме обычные кинематические и динамические переменные заменяются на операторы, которые подчиняются определенным правилам коммутации, содержащим постоянную Планка. Здесь мы опять встречаемся с математическими абстракциями, которые уже широко изучались ранее. Например, давно было известно, что сумма вращений твердого тела как результат последовательных поворотов вокруг различных осей зависит от того, в каком порядке эти повороты совершаются.

Пользуясь терминологией квантовой механики, можно сказать, что некоммутативность символических операторов прямо отражает взаимную несовместимость экспериментальных установок, которые позволяли бы производить точное измерение соответствующих физических величин. Более того, взаимное ограничение применимости кинематических и динамических величин в квантовомеханическом описании состояния физической системы находит количественное выражение в соотношениях неопределенности Гейзенберга, которые, как оказалось, имеют фундаментальное значение для выяснения физической ситуации, особенно в отношении пределов применимости обычных классических представлений о причинности.

В соответствии с тем обстоятельством, что в данной экспериментальной установке могут происходить различные индивидуальные квантовые процессы, предсказания этого формализма относительно результатов наблюдений имеют существенно статистический характер. Однако следует иметь в виду, что здесь мы сталкиваемся не с каким-то аналогом использования вероятностного рассмотрения при описании поведения сложных механических систем, а с невозможностью указания каких-либо конкретных сведений относительно хода индивидуальных процессов сверх того, что допускается внутренне согласованным обобщением детер-министической механики.

Для всякого, кто в течение многих лет имел дело с трудностями и парадоксами квантовой физики, глубокое удовлетворение доставляет то обстоятельство, что такая степень логической стройности достигается с помощью тонких методов, предлагаемых математической наукой. Поистине радостно видеть, как огромное количество экспериментальных результатов, относящихся к атомным и молекулярным спектрам, химической связи и радиоактивным процессам, в течение нескольких лет было детально объяснено и сведено воедино с простейшими данными об инертных массах и электрических зарядах частиц, из которых состоят все атомы.

Здесь мы встречаем закономерности, фундаментальные с точки зре-ния свойств материи, которые, хотя и находятся за пределами механических принципов, очень полезных во многих областях техники, все же не могут обойти математических формулировок и численных расчетов. В связи с этим важно также, что создание быстродействующих вычислительных машин, подобных чудесной машине UNIVAC, установленной в Институте математических наук при Нью-Йоркском университете, вызвавшей большие сдвиги в решении многих задач из области классической физики, дает основания для надежд на подобные же сдвиги и в изучении атомных проблем.

В общих чертах та роль, которую играла математика в естествозна-нии в течение многих веков, привела нас к осознанию того, что никакое соотношение не может быть определено вне соответствующих логи-ческих рамок и что всякая кажущаяся дисгармония в описании наших знаний может быть устранена лишь с помощью расширения системы понятий. Эти обстоятельства, хорошо знакомые математикам и сразу бросающиеся в глаза при изучении основ их науки, развитие физики выдвинуло в форме, находящей себе применение во многих областях человеческого познания и интересов, в которых мы сталкиваемся с по-добными же ситуациями при анализе и синтезе опытных данных.

Нильс Бор. Избранные научные труды. Т. II. М.: Наука, 1971. – С 280-288.