«Начала» Ньютона, как уже было сказано, были изложены тяжелым геометрическим языком. Доказательства механических предложений были громоздки и сложны. В XVIII в. в механику проникают методы дифференциального и интегрального исчисления, которые не решился применять в своем основном труде один из создателей этих методов. В превращении механики в аналитическую механику сыграла существенную роль плеяда блестящих математиков и механиков XVIII в., в особенности петербургский академик Леонард Эйлер и парижский академик Жозеф Луи Лагранж (1736—1813). Отметим, что и Эйлер и Л агранж в разное время работали в Берлинской Академии наук, куда Лагранж был избран в 1759 г. по представлению Эйлера. После отъезда Эйлера в Россию Лагранж переехал в Берлин, заняв пост Эйлера. Лагранж вернулся во францию спустя пять лет после смерти Эйлера, накануне Великой французской революции.
«Механика» Эйлера вышла в Петербурге в 1736 г. в двух больших томах. Второе его основное сочинение по механике, которое рассматривается как третий том «Механики», вышло в 1765 г. в Ростоке и Грейфсфальде под названием «Теория движения твердых тел».
Мы знаем, что Ньютон озаглавил свое сочинение «Началами натуральной философии», механикой в его время считалось учение о равновесии простых машин. Эйлер же впервые назвал механику наукой о движении, и полный перевод названия его труда в 1736 г. гласит: «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически». В предисловии к этому труду Эйлер указывал, что под механикой обычно понимают науку о равновесии сил, и предлагал дать этой науке название «статика», а «науке о движении придать имя механики».
И. Бернулли возражал против такого словоупотребления, предлагая для науки о движении сохранить термин, введенный Лейбницем,— «динамика». Эйлер в предисловии ссылается на сочинения своих предшественников: французского математика и механика Вариньона (1654—1722), сочинение которого «Новая механика или статика» вышло в 1725 г. после смерти автора; Христиана Вольфа (1679—1754), в сочинении которого «Начала всех математических наук» (1710) в разделе «Элементы механики» рассмотрены вместе и статика и механика; и наконец, швейцарского математика и петербургского академика Германа (1678—1733), сочинение которого «форономия, или О силах и движениях твердых и жидких тел» было опубликовано в 1716 г. Он называет также и «Начала» Ньютона, благодаря которым «наука о движении получила наибольшее развитие». Эйлер отмечает, что «форономия» является единственным известным ему сочинением, в котором учение о движении было разобрано «совершенно отдельно». Но он указывает, что работы Германа и Ньютона изложены «по обычаю древних при помощи синтетических геометрических доказательств» без применения анализа, «благодаря которому только и можно достигнуть полного понимания этих вещей». Эйлер сознается, что после изучения «форономии» и «Начал» он, как ему казалось, «достаточно ясно понял решение многих задач, однако задач, чуть отступающих от них, ...уже решить не мог». Тогда он попытался «выделить анализ из этого синтетического метода и те же предложения для собственной пользы проработать аналитически». Эйлер отмечает, что благодаря этому он «значительно лучше понял суть вопроса».
«Затем таким же образом я исследовал и другие работы, относящиеся к этой науке, разбросанные по многим местам, и лично для себя я изложил их планомерным и однообразным методом и привел их в удобный порядок. При этих занятиях я не только встретился с целым рядом вопросов, ранее совершенно незатронутых, которые я удачно разрешил, но и нашел много новых методов, благодаря которым не только механика, но и сам анализ, по-видимому, в значительной степени обогатился. Таким образом и возникло это сочинение о движении, в котором я изложил аналитическим методом и в удобном порядке как то, что я нашел у другие в их работах о движении, так и то, что я получил в результате своих размышлений».
Так откровенно и просто Эйлер рассказал историю создания своей «Механики» и вместе с тем показал путь перехода от громоздких, геометрических методов к изящным, аналитическим. Говоря о конкретном содержании «Механики» Эйлера, следует отметить, что она появилась в те годы, когда на континенте Европы начали распространяться идеи Ньютона и борьба картезианцев и ньютонианцев была в самом разгаре За пять лет до выхода эйлеровской «Механики» Вольтер смог четко отличить географические границы ньюто-нианства и картезианства: Лондон был центром ньютонианства, а Париж — картезианства. Имея в виду этот факт, Вольтер писал в «философских письмах» (1731): «Когда француз приезжает в Лондон, то находит здесь большую разницу как в философии, так и во всем другом. В Париже, из которого он приехал, думают, что мир наполнен материей, здесь же ему говорят, что он совершенно пуст; в Париже вы видите, что вся вселенная состоит из вихрей тонкой материи, в Лондоне же вы не видите ничего подобного; во франции давление Луны производит приливы и отливы моря, в Англии же говорят, что это само море тяготеет к Луне, так что когда парижане получают от Луны прилив, то лондонские джентльмены думают, что они должны иметь отлив... У вас картезианцы говорят, что все совершается вследствие давления, и этого мы не понимаем; здесь же нью-тонианцы говорят, что все совершается вследствие притяжения, которое мы не лучше понимаем. В Париже вы воображаете, что Земля у полюсов несколько удлинена, как яйцо, тогда как в Лондоне представляют ее сплюснутой, как дыня».
Воззрения картезианцев, казалось, подтверждались измерениями французских астрономов: Пикара (1620— 1682) и Ж. Кассини (1677-1756). Дискуссии о форме Земли, о системе мира Декарта и Ньютона достигли широкого размаха. Только в 1733 г. вышло шесть работ, посвященных вопросу о фигуре Земли. В 1735 г. Парижская академия наук организовала экспедицию в Перу для измерения дуги меридиана в экваториальной зоне. Летом 1736 г. академия послала экспедицию в Лапландию под руководством академика Пьера Мопертюи (1698—1759). В состав этой экспедиции входил и молодой математик Алексис Клод Клеро (1713—1765).
Экспедиция вернулась через 15 месяцев, в сентябре 1737 г., обеспечив победу теории Ньютона. Вышедший в 1743 г. классический труд Клеро «Теория фигуры Земли», где автор поставил труднейшую проблему определения фигуры равновесия вращающейся жидкости, был развитием теории Ньютона. Клеро предположил, что масса планеты первоначально была жидкой, ее частицы взаимодействовали друг с другом по ньютоновскому закону тяготения и вся масса медленно вращалась вокруг неподвижной оси. Полученные результаты имели фундаментальное значение для высшей геодезии, а сама теория Клеро получила дальнейшее развитие в трудах выдающихся математиков, начиная от современников Клеро и кончая классическими исследованиями выдающегося русского математика и механика А.М.Ляпунова.
Важным вкладом в развитие теории Ньютона были еще две работы Клеро, представленные им на премию, объявленную Петербургской Академией наук. Первая, премированная Петербургской Академией наук в 1751 г., работа Клеро называлась «Теория движения Луны, выведенная единственно из начала притяжения, обратно пропорционального квадратам расстояния». Труд Клеро был напечатан в Петербурге в 1752 г.
Весьма замечательна вторая работа Клеро, получившая премию Петербургской Академии наук в 1762 г. Эта работа была посвящена анализу движения кометы Галлея. Галлей предсказал ее возвращение в 1758 г., однако в этот год комета не появилась. Клеро предпринял новый расчет времени возвращения кометы, учитывая возмущающее действие на нее масс Юпитера и Сатурна, и предсказал ее появление весной 1759 г., допустив ошибку всего в 19 дней. «Исполнившееся предсказание Клеро, — говорил французский академик Араго,— произвело на общество более действия, нежели все хитрые доказательства философа Бейля». А Пьер Бейль (1647— 1706), автор «Исторического и критического словаря», оказал бесспорно большое влияние на умы просветителей XVIII в. К.Маркс называл его отцом французского просвещения.
Борьба за теорию Ньютона развертывалась на самых разнообразных участках науки и жизни. Теория проверялась в экспедициях, в астрономических наблюдениях, в вычислениях математиков, обсуждалась в философских и научных дискуссиях, излагалась в учебниках и монографиях. «Механика» Эйлера и была первым систематическим курсом ньютоновской механики. Ее страницы еще отражали дискуссии нью-тонианцев и картезианцев. Шла ли речь о пустом абсолютном пространстве Ньютона или о материальной протяженности Декарта, о силах, существующих «сами по себе», или только о взаимодействующих реальных телах— обо всем этом картезианцы и ньюто-нианцы имели свои точки зрения. Эйлеру необходимо было присоединиться к той или другой. Для математических расчетов точка зрения ньюто-нианцев была более подходящей, и Эйлер ее принял. Так, определив движение как «перемещение тела из того места, которое оно занимало, в другое место», Эйлер определил понятие места следующим образом: «Место есть часть неизмеримого или бесконечного пространства, в котором находится весь мир. Принятое в этом смысле место обычно называют абсолютным...»
Это определение совершенно в духе ньютоновского абсолютного пространства, «вместилища» всего мира. Но Эйлер подчеркивает, что такое пространство вводится лишь для удобства математического описания. Он говорит: «То, что мы говорили здесь о безграничном и неизмеримом пространстве, должно рассматриваться как чисто математическое выражение... Ведь мы не утверждаем, что есть подобного рода бесконечное пространство... мы требуем только одного, чтобы тот, кто хочет исследовать вопрос об абсолютном движении и абсолютном покое, представил себе такое пространство и отсюда уже судил о состоянии покоя или движения тел».
Итак, Эйлер рассматривает ньютоновское абсолютное пространство как удобную математическую абстракцию, полезную для описания механического движения тел. Из других его трудов, в частности из известной научно-популярной книги «Письма к немецкой принцессе», видно, что в его физических воззрениях картезианская концепция непрерывной материальной среды занимала важное место.
Эйлер следует Ньютону и в определении основных понятий динамики — силы и массы. «Сила есть то усилие, которое переводит тело из состояния покоя в состояние движения или видоизменяет его движение». Отсюда в качестве следствия получается закон инерции: «Всякое тело, предоставленное самому себе, или пребывает в покое, или движется равномерно и прямолинейно». Эйлер заранее предупреждает читателя, что он под словами «движение» и «покой» всегда подразумевает абсолютные движение и покой. Таким образом, в приведенной формулировке закона инерции следует иметь в виду движение и покой, отнесенные к абсолютному пространству.
Эйлер неоднократно обращался к вопросу об источнике сил и считал, что таким источником является движение непроницаемых инертных тел. Основой динамики Эйлера служит теорема: «Сила q на точку b имеет то же действие, какое сила р имеет на точку а, если
q/p=b/a
«Это предложение, — указывает далее Эйлер, — заключает в себе основы для измерения силы инерции, так как на нем основывается все учение о том, как нужно учитывать материю или массу тел в механике. Следует обращать внимание на число точек, составляющих тело, которое должно быть приведено в движение, и масса тела должна быть принята пропорциональной этому числу. Эти точки надо считать равными между собой, но не так, что они равно малы, но так, что на них одна и та же сила производит равные действия. Если мы представим себе, что вся материя мира разделена на подобного рода равные точки или элементы, то количество материи по необходимости надо будет измерять числом точек, из которых оно составлено. В следующем предложении я покажу, что сила инерции пропорциональна этому числу точек или количеству материи».
Действительно, несколько ниже Эйлер формулирует предложение: «Силы инерции каждого тела пропорциональны количеству материи, из которой оно со стоит». Эйлер раскрывает знаменитое ньютоновское определение массы, вскрывает его атомистическую сущность и, подобно Ньютону, поясняет далее, что масса может быть измерена пропорциональным ей весом.
Когда Эйлер в приведенном выше основном предложении о пропорциональности сил массам употребляет выражение «точка b», «точка а», то это означает: «точка массы b», «точка массы а».(«Точка массы а», очевидно, тело малых размеров, составленное из простых точек ) Само же предложение означает, что действия сил одинаковы, если силы пропорциональны массам.
В современных обозначениях предложение Эйлера записывают так:
F1/F2 = m1/m2 = a
где а - одинаковое действие силы на тело, т. е. ускорение. Отсюда:
F1/m1 = a, F2/ m2 = a,
или вообще:
F = ma.
В своей «Механике» Эйлер записывает основное уравнение динамики для прямолинейного движения в следующем виде:
dc=npdt/A где dc - дифференциал скорости, р -сила, А - масса, п - коэффициент пропорциональности.
Подчеркнем, что Эйлер знал векторный характер силы и принимал за ее направление ту прямую, «по которой она стремится двигать тело». В «Теории движения твердых тел» Эйлер выписывает уравнения движения тела, разлагая это движение на три прямолинейные составляющие по осям. Они в обозначениях Эйлера имеют вид:
где р, q, r - компоненты действующей силы по осям координат, А — масса точки, λ — коэффициент пропорциональности, определяемый выбором единиц.
Таким образом, Эйлер переформулировал основные понятия ньютоновской механики, придав им более ясную форму, сохранив, однако, сущность ньютоновских определений; выдвинул на центральное место второй, закон, сделав его стержнем всей механики и придав ему аналитическую форму. С помощью этого закона Эйлер в «Механике» рассматривает различные случаи движения свободной и несвободной точки.
В «Теории движения твердого тела» Эйлер развил механику вращательного движения, введя такие фундаментальные понятия, как главные оси, проходящие через центр инерции, по отношению к которым момент инерции имеет экстремальное значение. Свободную ось вращения Эйлер определяет как ось, которая не испытывает никакого силового воздействия при вращении тела вокруг нее.
Еще в 1758 г. Эйлер написал уравнения вращательного движения твердого тела, отнесенные к главным осям, в следующем виде:
где р, q, r - угловые скорости вращения относительно трех главных осей, жестко связанных с телом; А, В, С - главные моменты инерции; L, М, N - моменты сил, приложенных к телу, относительно тех же главных осей.
Как видим, Эйлер внес существенный вклад в развитие механики. Написанные им уравнения до cего времени «работают» в современных курсах.
В XVIII в. происходило не только преобразование методов ньютоновской механики. Этот век отмечен поисками общих принципов механики, эквивалентных законам Ньютона, или даже более общих, чем эти принципы. В результате этих поисков были открыты принципы возможных перемещений в статике, принцип Даламбера и принцип наименьшего действия Мопер-тюи — Эйлера в динамике.
Лагранж в своем труде «Аналитическая механика», излагая историю развития принципов статики, относит первые формулировки соотношений между силами, действующими в простых механизмах, и проходимыми путями к Гвидо убальдо и Галилею. Лагранж считает, что «древние, по-видимому, не знали этого закона». Однако у Герона Александрийского встречается «золотое правило механики» в виде утверждения: «Что выигрывается в силе, то теряется в скорости». Многие историки науки считают, что это правило было известно еще Аристотелю. Эмпирически это правило, несомненно, было знакомо людям, имеющим дело с простыми механизмами, очень давно.
Принцип возможных перемещений, который Лагранж называет принципом виртуальных скоростей, был сформулирован И.Бернулли в 1717 г. в письме к Вариньону и опубликован в «Новой механике» в 1725 г. Лагранж формулирует этот принцип следующим образом:
«Если какая-либо система любого числа тел или точек, на каждую из которых действуют любые силы, находится в равновесии и если этой системе сообщить любое малое движение, в результате которого каждая точка пройдет бесконечно малый путь, представляющий ее виртуальную скорость, то сумма сил, помноженных каждая соответственно на путь, проходимый по направлению силы точкой, к которой она приложена, будет всегда равна нулю, если малые пути, проходимые в направлении сил, считать положительными, а проходимые в противоположном направлении считать отрицательными».
Лагранж доказывал этот принцип, моделируя систему сил при помощи полиспастов и сводя действие этой системы к подъему или опусканию груза. Равновесие системы сил будет достигнуто тогда, когда при любом бесконечно малом перемещении точек системы груз не опускается. Лагранж указывал, что принцип виртуальных скоростей «дал повод для появления другого принципа, предложенного Мопертюи в 1740 г.».
История принципа П. Мопертюи также восходит к Герону, к утверждению о кратчайшем времени распространения света, которым Герои обосновал закон отражения.
Ферма применил этот принцип к преломлению света и вывел закон преломления, исходя из постулата: «Природа действует наиболее легкими и доступными путями». Свой вывод он изложил в письме к де ла Шамбру от 1 января 1662 г.
Иоганн Бернулли (1667—1748) сопоставил принцип ферма с предложенной им в 1696 г. вариационной механической задачей о линии быстрейшего ската тяжелой точки в поле тяжести (брахистохроне). Эту задачу Бернулли сформулировал так: «В вертикальной плоскости даны две точки Л и В. Определить путь АМВ, спускаясь по которому под влиянием собственной тяжести, тело М, начав двигаться из точки А, дойдет до другой точки В в кратчайшее время»
И в принципе ферма и в задаче о брахистохроне речь идет об отыскании минимального значения интеграла:
«...Мною, — писал И. Бернулли, — открыто удивительное совпадение между кривизной луча света в непрерывно меняющейся среде и нашей брахистохронной кривой». Так впервые была подмечена оптико-механическая аналогия, сыгравшая важную роль в истории физики.
Задача о брахистохроне явилась также началом разработки нового раздела математики — вариационного исчисления. В развитии этого раздела математики основополагающую роль сыграл Эйлер, издавший в 1744 г. книгу «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума, или решение изопери-метрической задачи, взятой в самом широком смысле». Эйлер впервые применил термин «вариационное исчисление». Дальнейшее развитие вариационное исчисление получило в работах Лагранжа, который ввел символ варьирования d . Лагранж сообщил основные идеи своего метода в письме к Эйлеру еще в 1755 г. и опубликовал основополагающую статью по вариационному исчислению в 1762 г
20 февраля 1740 г. П. Мопертюи прочитал в Парижской Академии Статью «Закон покоя». Именно об этой статье упоминал Лагранж, излагая историю принципа возможных перемещений. Мопертюи действительно ставил своей целью в этой статье найти принцип равновесия системы тел и формулировал его как экстремальный принцип для некоторой величины, которую он называл «суммой сил покоя».
Через четыре года после этого Мопертюи выступил со статьей «Согласование различных законов природы», в которой утверждал, что законы оптики являются следствием «метафизического закона», заключающегося в том, что «природа, производя свои действия, всегда пользуется наиболее простыми средствами» и что принцип ферма является принципом наименьшего действия. Свет, по мнению Мопертюи, «выбирает путь», «для которого количество действия будет наименьшим».
Мопертюи при этом поясняет, что он понимает под «количеством действия». «Это действие, — говорит он, — зависит от скорости, имеющейся у тела, и от пространства, пробегаемого последним, но оно не является ни скоростью, ни пространством, взятыми в отдельности. Количество действия тем больше, чем больше скорость тела и чем длиннее путь, пробегаемый телом; оно пропорционально сумме произведений отрезков на скорость, с которой тело проходит каждый из них».
Принцип ферма Мопертюи выражает в виде утверждения:
Σ(mvs) = min, а не в виде:
Σ(ds/v)=min.
В своей книге «Метод нахождения кривых линий» Эйлер публикует статью «Об определении движения брошенных тел в не сопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов». «Так как все явления природы, — говорит Эйлер в этой статье,— следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, когда на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума». Далее Эйлер определяет это свойство конкретно. Обозначив массу движущегося тела через М, его скорость через
,пройденный путь через s, он пишет: «Теперь я утверждаю, что линия, описываемая телом, будет такова, что среди всех других линий, содержащихся между теми же пределами, у нее будет минимум
или, так как М постоянно,
.Поскольку
,то
«так что для кривой, описываемой брошенным телом, сумма всех живых сил, находящихся в теле, в отдельные моменты времени будет наименьшей». «Таким образом, —добавляет Эйлер, откликая сь на спор о двух мерах движения,— ни те, кто полагает, что силы следует оценивать по самим скоростям, ни те, кто — по квадратам скоростей, не найдут здесь ничего неприемлемого».
Спор о двух мерах движения, как известно, был разрешен Даламбером(Математик и философ Жан Лерон за год до выхода книги Эйлера. «Трактат по динамике» Даламбера вышел в 1743 г. Даламбер строит динамику на трех принципах: принципе силы инерции, принципе сложения движений и принципе равновесия. «Силой инерции, — говорит Даламбер, — я вместе с Ньютоном называю свойство тел сохранять то состояние, в котором они находятся».)
Действие ускоряющей силы φ , по Даламберу, пропорционально приращению скорости:
Но u=de/dt, где е —пройденный путь,
отсюда:
Таким образом в «Динамике» Даламбера фигурирует то же уравнение движения, что и в «Механике» Эйлера.
Второй принцип динамики Даламбера—это принцип суперпозиции движений; параллелограмм скоростей и сил. На основе этого принципа Даламбер решает задачи статики.
Третий принцип, который кладет Даламбер в основу динамики, известен ныне под названием «принцип Даламбера». Его оригинальная формулировка очень громоздка и трудно понимаема, мы ее приводить не будем. Лагранж в своей «Аналитической динамике» дает такую формулировку принципа Даламбера: «Если нескольким телам сообщить движения, которые они вынуждены изменить вследствие наличия взаимодействия между ними, то ясно, что эти движения можно рассматривать как составленные из тех движений, которые тела фактически получают, и из других движений, которые уничтожаются ; отсюда следует, что эти последние должны быть такими, что если бы тела находились исключительно под их действием, то они бы взаимно друг друга уравновесили». Приведем более современную формулировку принципа Даламбера, как она была дана знаменитым русским механиком Н.Е.Жуковским в его «Курсе теоретической механики»: «В своем «Трактате динамики» Далам-бер установил общие начала, которые позволяют задачу о движении свести к вопросам о равновесии и найти связь между действующими силами, ускорениями и силами давления, натяжения и т. д.— связь, которая имеет место при рассматриваемом движении. Это достигается введением в систему действующих сил некоторых фиктивных сил, именно сил инерции. Начало Даламбера может быть сформулировано таким образом. Если в какой-нибудь момент времени остановить движущуюся систему и прибавить к ней, кроме сил, ее движущих, еще все силы, инерции, соответствующие данному моменту времени, то будет иметь место равновесие; при этом все силы давления, натяжения и т. д., которые развиваются между частями системы при таком равновесии, будут действительные силы давления, натяжения и т. д. при движении системы в рассматриваемый момент времени». Таким образом, к 1744 г. механика обогатилась двумя важными принципами; принципом Даламбера и принципом наименьшего действия Мопертюи —Эйлера. Основываясь на этих принципах, Лагранж построил законченную систему аналитической механики.
Он окончательно порвал с геометрическими методами Ньютона и с гордостью заявлял, что в его «Аналитической механике» совершенно отсутствуют какие бы то ни было чертежи. «Я поставил себе целью,— пишет Лагранж в предисловии к своему труду,— свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи».
Жозеф Луи Лагранж родился 25 января 1736 г. в Турине. Он рано начал интересоваться математическими науками и уже в 18 лет получил самостоятельные результаты в области дифференциального, интегрального и вариационного исчислений. В 19 лет он стал профессором артиллерийской школы в Турине. Здесь он организовал ученое общество, развившееся в известную Туринскую академию, в печатном органе которой Лагранж публиковал свои мемуары, привлекшие внимание тогдашних математиков. Через пять лет, в 1759 г., двадцатитрехлетний Лагранж по представлению Эйлера был избран членом Берлинской Академии наук.
В 1766 г. он в связи с отъездом Эйлера заменял его на посту президента физико-математического класса Берлинской Академии наук и оставался на этом посту до 1787 г. В 1788 г. накануне Великой французской революции Лагранж переезжает в Париж, В этом же году выходит его труд «Аналитическая механика», изданный в Париже на французском языке.
После революции Лагранж был назначен председателем Комиссии по установлению метрической системы мер. С момента организации Нормальной и Политехнической школ Лагранж вел в них педагогическую работу и немало способствовал укреплению авторитета Политехнической школы как ведущего научного центра математических наук.
Умер Лагранж 10 апреля 1813 г.
«Аналитическая механика» Лагранжа состоит из двух основных разделов: статики и динамики. Каждому из этих разделов предпосылается вводная глава, содержащая анализ общих принципов статики и динамики. Лагранж определяет статику как науку о равновесии сил и дает определение силы как «любой причины», «которая сообщает или стремится сообщить движение телам». Лагранж указывает, что статика основана на трех принципах; принципе рычага, принципе сложения сил и принципе виртуальных скоростей Затем он переходит к изложению истории развития этих принципов. Охарактеризовав принцип рычага Архимеда, он кратко показывает его развитие Стевином, Галилеем и Гюйгенсом. Лагранж считает доказательство Гюйгенса остроумным, но недостаточным и дает свое доказательство. Равновесие рычага сводится к принципу моментов, причем под моментом «понимают произведение силы на плечо, на которое она действует».
В кратком историческом обзоре Лагранж показывает, как развивается и уточняется научная идея. Его собственные доказательства появляются как итог этого исторического развития. Таково его знаменитое доказательство принципа виртуальных скоростей, т. е. принципа возможных перемещений, история которого значительно короче, чем история принципа рычага.
Исторический подход Лагранжа к механике очень интересен и ценен. Лагранж не только разработал аналитические методы классической механики, но и явился первым историком механики. Следует отметить, что в XVIII и первой половине XIX в. исторический подход к научным проблемам был весьма распространен; история помогала глубже осознавать рождающиеся идеи, уточнять и совершенствовать их. Так было в механике, так было в электричестве и оптике.
В главе «О различных принципах динамики» Лагранж определяет динамику как науку «об ускоряющих и замедляющих силах и о переменных движениях, которые они должны вызвать».
В основу динамики Лагранж кладет принцип наименьшего действия, который формулирует следующим образом: «При движении любой системы тел, находящихся под действием взаимных сил притяжения, или сил, направленных к неподвижным центрам и пропорциональных каким-либо функциям расстояний, кривые, описываемые различными телами, а равно их скорости необходимо таковы, что сумма произведений отдельных масс на интеграл скорости, умноженный на элемент кривой, является максимумом или минимумом— при условии, что первые и последние точки каждой кривой рассматриваются как заданные, так что вариации координат, соответствующих этим точкам, равны нулю».
Используя принцип наименьшего действия, Лагранж получает для описания движения любой системы материальных точек общую формулу:
где S - знак суммы; m - масса каждого из тел (точек) системы; х, у, z - координаты тела (точки); Р, Q, R, ...— заданные ускоряющие силы, действующие на единицу массы по направлению соответствующих центров; р, q, r,... — расстояния тел (точек) от этих центров; δр, δq, δr, ... — вариации этих расстояний.
Из этой общей формулы Лагранж выводит законы и уравнения движения системы. Закон движения центра тяжести он формулирует так: «Движение центра тяжести системы свободных тел, расположенных одно по отношению к другому совершенно произвольным образом, всегда таково, как если бы все тела были сосредоточены в одной точке и если бы в то же время каждое из них находилось под действием тех же ускоряющих сил, под влиянием которых оно находится в своем действительном состоянии». Аналитически эта теорема записывается Лагранжем в следующем виде:
где x', y', z' — координаты центра тяжести.
Теорему площадей для центральных сил Лагранж записывает в следующем виде:
где А, В, С — произвольные постоянные. Принцип сохранения живых сил Лагранж выражает в виде:
где H обозначает произвольную постоянную, равную значению левой части уравнения в заданное мгновение; П — функция, дифференциал которой равен:
dП = Pdp + Qdq + Rdr+...,
т. е., по современным представлениям, равен элементарной работе движущих сил; однако Лагранж термина «работа» не знал, равно как и термина «энергия ». Написанную выше формулу, выражающую закон сохранения энергии для консервативных сил, Лагранж называет принципом сохранения живых сил.
Далее Лагранж выводит дифференциальные уравнения движения системы. Мы их выпишем в более привычной форме. Если уравнения связей системы: φ1 = О, φ2 = О, ...φk = 0, то уравнения Лагранжа первого рода имеют вид:
Лагранж делает следующий важный шаг: он вводит новые переменные, «пользование которыми может максимально облегчить интегрирование». Эти «обобщенные координаты» соответствуют числу «степеней свободы», т. е. числу тех независимых параметров, которые полностью характеризуют систему. Применяя метод наименьшего действия, Л агранж получает уравнения:
Число уравнений «в точности равно числу переменных, Ф, ..., от которых зависит положение системы в каждое мгновение». Сейчас обобщенные координаты обозначают символом, потенциальную энергию — символом U, сохраняя для кинетической энергии обозначение Лагранжа Т. Тогда, введя функцию Т - U, которую в честь Лагранжа обозначают L, его уравнения записывают так:
В современной теоретической физике уравнения Лагранжа приобрели огромное значение, далеко выходящее за пределы механики. Они применяются в термодинамике, электродинамике, атомной физике. Таким образом, Лагранж создал мощный метод, позволяющий решать большой круг задач.
Ирландский математик, механик и астроном У.Р.Гамильтон, оценивая вклад, внесенный Лагранжем в развитие механики после Галилея и Ньютона, писал: «Из числа последователей этих блестящих ученых Лагранж, пожалуй, больше, чем какой-либо другой аналитик, сделал для того, чтобы расширить и придать стройность подобным дедуктивным исследованиям, доказав, что самые разнообразные следствия, относящиеся к движению системы тел, могут быть выведены из одной основной формулы. При этом красота метода настолько соответствует достоинству результата, что эта великая работа превращается в своего рода математическую поэму». Этой поэмой завершился плодотворный период разработки основ теоретической механики.