§ 1. Отрезок. — § 2. Ось. — § 3. Векторы. — § 4. Равенство векторов. — §5. Векторы: свободный, скользящий и связанный
§ 6. Об операциях сложения и умножения. — § 7. Сумма векторов. — § 8. Частные случаи. — § 9. Разность векторов. — § 10. Произведение вектора и числа. — §11. Векторы, параллельные данному направлению. Орты. — § 12. Векторы на оси
§ 13. Проекция па ось. — § 13а. Проекции фигур, расположенных в одной и той же плоскости. — § 14. Проекция на плоскость. — § 15. Проекции суммы и разности векторов на ось. — § 16. Проекции суммы и разности векторов на плоскость. — § 17. Проекция произведения вектора и числа
§ 18. Угол между двумя направлениями. — § 19. Формула для вычисления прямоугольной проекции вектора на ось. — § 19а. Обобщение. — § 20. Длина прямоугольной проекции вектора на плоскость. — § 21. Площадь проекции плоской фигуры на плоскость
§ 22. Скалярное произведение двух векторов. — § 23. Выражение прямоугольной проекции вектора через скалярное произведение. — § 24. Правая и левая системы трех направлений. — § 25. Векторное произведение двух векторов. — § 26. Смешанное произведение трех векторов
§ 27. Координаты на прямой оси. — § 28. Координаты вектора и точки на плоскости. — § 29. Прямоугольные координаты на плоскости. — § 30. Координаты вектора и точки в пространстве. — § 31. Прямоугольные координаты в пространстве. — § 32. Разложение вектора по данным направлениям . — § 33. Обобщенные декартовы координаты
§ 34. Координаты суммы данных векторов. — § 35. Определение вектора по заданным началу и концу. — § 36. Координаты произведения вектора и числа. — § 37. Условие параллельности двух векторов. — § 37а. Условие параллельности двух векторов (продолжение). — § 38. Условие коллинеарности трех точек. — § 39. Условие компланарности трех векторов. — § 40. Условие компланарности четырёх точек. — § 41. Деление отрезка в данном отношении
§ 42. Скалярное произведение двух векторов. — § 43. Длина вектора. Углы, составляемые вектором с осями координат. Расстояние между двумя точками. — § 44. Координаты орта. Косинусы направления. — § 45. Угол между двумя векторами (направлениями). — § 46. Условие перпендикулярности двух векторов (направлений). — § 47. Определение направления на плоскости. - § 48. Определение угла между двумя направлениями на плоскости, когда углу приписывается знак. — § 49. Площадь треугольника, построенного на двух векторах, приложенных к одной точке. — § 50. Площадь треугольника, заданного своими вершинами. — § 51. Векторное произведение двух векторов. — § 52. Смешанное произведение трёх векторов. Объём параллелепипеда. § 53. Объем тетраэдра, заданного координатами вершин
§ 54. Ковариантные и контравариантные декартовы координаты. — § 55. Зависимость между ковариантными и контравариантными координатами. — § 56. Выражения для скалярного произведения двух векторов, длины вектора, расстояния между двумя точками и угла между двумя направлениями. — § 57. Координаты и косинусы направления в необобщённых косоугольных координатах
§ 58. Система полярных координат на плоскости. — § 59. Обобщение. — § 60. Преобразование полярных координат на плоскости в декартовы. — § 61. Полярные координаты в пространстве. — § 62. Полуполярные (цилиндрические) координаты. — § 63. Общий метод координат
118 § 64. Перенесение начала. —§ 65. Изменение координатных векторов. — § 66. Общий случай . — § 67. Приложения. — § 68. Преобразование ковариантных координат
§ 69. Преобразование прямоугольных координат на плоскости. — § 70. Преобразование прямоугольных координат в пространстве. — § 71. Соотношения между коэффициентами формул преобразования прямоугольных координат. — § 72. Ортогональные подстановки. Алгебраический вывод формул предыдущегопараграфа. — § 73. Углы Эйлера. — § 74. Преобразование необобщенных косоугольных коордииат на плоскости
§ 75. Движения. — § 76. Аффинные преобразования. — § 77. Подобные преобразования и движения как частные случаи аффинного преобразования. — § 78. О группах точечных преобразований. О классификации геометрических дисциплин
§ 79. Уравнение линии. — § 80. Примеры: уравнения прямой линии и окружности. — § 81. Параметрическое представление линии. — § 82. Уравнение линии в различных системах координат. — § 83. Основные вопросы, связанные с аналитическим представлением линии. — § 84. Примеры различных линий. — § 85. Классификация плоских линий. — § 86. Распадающиеся и нераспадающиеся алгебраические линии. —§ 87. О пересечении двух линий
§ 88. Уравнение в коэффициентах направления. Параметрическое представление. — § 89. Приведенное уравнение прямой. — § 90. Общее уравнение прямой. — § 91. Частные случаи общего уравнения прямой. — § 92. Знак трехчлена Ax+By+C. - § 93. Уравнение в отрезках на осях. — § 94. Построение прямой по заданному уравнению. — § 95. Геометрическое значение коэффициентов А и В в общем уравнении. — § 96. Нормальное уравнение прямой
§ 97. Задача 1. Найти условия параллельности и совпадения двух заданных прямых. — § 98. Задача 2. Найти точку пересечения двух прямых. — § 99. Задача 3. Найти формулы перехода к новой декартовой системе, оси которой заданы уравнениями. — § 100. Задача 4. Найти точки пересечения данной прямой с данной кривой. — § 101. Задача 5. Найти угол между двумя данными прямыми. — § 102. Задача 6. Найти условие перпендикулярности двух прямых. — § 103. Задача 7. Найти расстояние от данной точки до данной прямой. — § 104. Задача 8. Найти отношение, в котором данная прямая делит отрезок, соединяющий две данные точки. — § 105. Число независимых постоянных в уравнении прямой. — § 106. Пучок прямых. — § 107. Задача 9. Найти уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данному направлению. — § 108 Задача 10. Найти уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2). — § 109. Задача 11. Найти прямую, проходящую через заданную точку и перпендикулярную к заданной прямой. — § 110. Задача 12. Найти прямую, проходящую через заданную точку и составляющую с заданной прямой заданный угол. — § 111. Общее уравнение прямых, проходящих через пересечение двух данных. — § 112. Задача 13. Найти прямую, проходящую через пересечение двух заданных прямых и через другую заданную точку. — § 113. Условие пересечения трех прямых в одной точке. — § 114. Задача 14, Найти уравнение прямой, проходящей через пересечение заданных прямых и имеющей заданное направление. — § 115. Геометрическое значение постоянной k
§ 110. Уравнение поверхности. — § 117. Уравнение сферы и кругового конуса в прямоугольных координатах. — § 118. Уравнение цилиндра. — § 119. Классификация поверхностей. — § 120. Уравнение линии. — § 121. Параметрическое представление линий и поверхностей. — § 122. О пересечении поверхностей и линий в пространстве
§ 123. Общее уравнение плоскости. Параметрическое представление. — § 124. Геометрическое значение коэффициентов А, В, С. — § 125. Частные случаи. - § 126. Знак четырёхчлена Ax+By+Cz+D. — § 127. Уравнение в отрезках на осях. — § 128. Построение плоскости, заданной уравнением. — § 129. Следы плоскости на плоскостях координат. - § 130. Условия параллельности и совпадения двух плоскостей. — § 131. Нормальное уравнение плоскости
§ 132. Уравнения в коэффициентах направления. Параметрическое представление. — § 133. Приведенные уравнения прямой. — § 134. Условия параллельности и совпадения двух прямых. — § 135. Уравнения прямой в общем виде
§ 136. Задача 1. Найти пересечение двух плоскостей. — § 137. Задача 2. Найти пересечение трёх плоскостей. — § 138. Задача 3. Найти формулы перехода к новой системе декартовых координат, плоскости которой заданы уравнениями. — § 139. Задача 4. Найти пересечение плоскости и прямой. — § 140. Задача 5. Найти пересечение: 1° данной поверхности и плоскости; 2° данной поверхности и прямой; 3° данной кривой и плоскости. — § 141. Задача 6. Найти углы между данными плоскостями или прямыми. — § 142. Задача 7. Найти условия перпендикулярности данных прямых и плоскостей. — § 143. Задача 8. Найти расстояние данной точки до данной плоскости. — § 144. Задача 9. Найти отношение, в котором данная плоскость делит отрезок, соединяющий две данные точки. — § 145. Число независимых постоянных, определяющих положение плоскости и прямой в пространстве. — § 146. Связка прямых и плоскостей. Пучок плоскостей. — § 147. Задача 10. Найти прямую, проходящую через заданную точку и параллельную заданной прямой (или вектору). — § 148. Задача 11. Найти прямую, проходящую через заданную точку М1(x1, у1, z1) и перпендикулярную к заданной плоскости Ах+By+Cz+D = 0. — § 149. Задача 12. Найти прямую, проходящую через две заданные точки. — § 150. Задача 13. Найти плоскость, проходящую через заданную точку М1(x1, у1, z1) и параллельную заданной плоскости. — § 151. Задача 14. Найти плоскость,проходящую через заданную точку М1(x1, у1, z1) и перпендикулярную к заданной прямой или вектору. — § 152. Задача 15. Найти плоскость, проходящую через заданную прямую и заданную точку. — § 153. Задача 16. Найти плоскость, проходящую через три заданные не коллинеарные точки. — § 154. Задача 17. Найти плоскость, проходящую через заданную прямую и параллельную другой заданной прямой или вектору. — § 155. Задача 18. Найти плоскость, проходящую через заданную прямую и перпендикулярную к заданной плоскости. — § 156. Задача 19. Найти условия компланарности (пересечения) двух данных прямых. — § 157. Задача 20. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из заданной точки М на заданную прямую. — § 158. Задача 21. Найти расстояние заданной точки до заданной прямой. — § 159. Задача 22. Найти уравнения общего перпендикуляра к двум прямым. — § 160. Задача 23. Найти кратчайшее расстояние между двумя прямыми
§ 161. Мнимые точки и векторы. — § 162. Мнимые прямые и плоскости
§ 163. Однородные декартовы координаты на прямой. — § 164. Приложение к корням алгебраического уравнения. — § 165. Однородные декартовы координаты на плоскости. — § 166. Уравнение прямой на плоскости в однородных координатах. — § 167. Параметрическое представление прямой на плоскости в однородных координатах. — § 168. Однородные декартовы координаты в пространстве. — § 169. Параметрическое представление прямой в пространстве . — § 170. Координаты прямой на плоскости. Взаимность между точками и прямыми. — § 171. Координаты плоскости в пространстве. Взаимность между точками и плоскостями. — § 172. Основные геометрические образы проективной геометрии. — § 173. Преобразование однородных декартовых координат. — § 174. Уравнения алгебраических кривых и поверхностей в однородных координатах. Некоторые общие предложения. — § 175. Циклические точки и сферическая окружность
§ 176. О дробно-линейиых (томографических) подстановках. — § 177. Проективные координаты точки. — § 178. Уравнения алгебраических линий и поверхностей в однородных проективных координатах. — § 178а. Параметрическое представление прямой и пучка в проективных координатах. — § 179. Проективные точечные преобразования. — § 180. Двойное отношение четырех точек. — § 181. Гармоническое разделение. — § 182. Инвариантность двойного отношения при томографической подстановке. — § 183. Двойное отношение четырех прямых и четырех плоскостей пучка. — § 184. Проектирования и сечения. — § 185. Проективное соответствие между образами первой ступени. — § I86. Геометрическое значение проективных координат на прямой. — § 187. Двойное отношение четырех точек на прямой, зааданной параметрически. — § 188. Двойное отношение четырех прямых (плоскостей) пучка, заданного параметрически. Проективные координаты в пучке. — § 189. Аналитическое выражение проективного соответствия двух образов первой ступени. — § 190. Наложенные образы первой ступени. Инволюция. — § 191. Геометрическое значение проективных координат на плоскости и в пространстве. — § 192. Геометрическое значение преобразования проективных координат на плоскости и в пространстве. — § 193. Основные свойства проективных точечных преобразований плоскости и пространства. - § 194. Корреляция
§ 195>. Определение эллипса и его нормальное уравнение. — § 196. Исследование формы эллипса. — § 197. Определение гиперболы и её нормилыюе уравнение. — § 198. Исследование формы гиперболы. Асимптоты. — § 199. Свойства фокальных расстояний. Директрисы эллипса и гиперболы. Новое определение этих линий. — § 200. Определение параболы и ее нормальное уравнение
§ 201. Пересечение прямого кругового конуса с плоскостью. — § 202. Получение данного конического сечения из данного конуса
§ 203. Уравнение гиперболы, отнесенной к асимптотам. — § 204. Параметрическое представление конических сечений. Построение по точкам. — § 205. Полярные уравнения конических сечений, отнесенных к фокусу. — § 206. Уравнения конических сечений, отнесенных к вершине. — § 207. Подобные конические сечения
§ 208. Обозначения. — § 209. Распадающиеся и нераспадающиеся линии второго порядка. Совпадение линий второго порядка. — § 210. Условие распадения линии второго порядка. — § 211. Каноническое уравнение линии второго порядка в проективных координатах. Проективная классификация. — § 212. Определение линии второго порядка по пяти точкам. — § 213. Пучок линий второго порядка. — § 214. Теорема Паскаля. — § 215. Образование линий второго порядка проективными пучками
§ 216. Уравнение, определяющее пересечение линии второго порядка с прямою, в однородных координатах. — § 217. Касательная к линии второго порядка. — § 218. Касательная как предел секущей
§ 219. Проведение касательной из заданной точки плоскости. Полюс и поляра. — § 220. Другое определение полюса и поляры. Сопряженные точки. — § 221. Полярность, определяемая линией второго порядка. — §222. Автополярный треугольник. — § 223. Сопряженные прямые. Тангенциальное уравнение линии второго порядка. Понятие класса. — § 224. Применение принципа взаимности к линиям второго порядка
§ 225. Аффинная классификация линий второго порядка. — § 225а. О распадающейся линии параболического типа. — § 226. Асимптотические направления. — § 227. Уравнения, определяющие пересечение линии второго порядка с прямой, в неоднородных декартовых координатах. — § 228. Центр линии второго порядка. — § 229. Асимптоты. — § 230. Диаметры линий второго порядка. — § 231. Связь диаметров с касательными. — § 232. Диаметры как поляры несобственных точек. — § 233. Построение центра и диаметров линии второго порядка, заданной очертанием. Дополнительные хорды. — § 234. Уравнение центральной линии второго порядка, отнесенной к сопряженным диаметрам. — § 235. Простейшие уравнения линий параболического типа. — § 236. Уравнения линий второго порядка, отнесенных к касательной и диаметру, проведенному через точку касания
§ 237. Главные диаметры. — § 238. Нормальные уравнения конических сечений в декартовых прямоугольных координатах. — § 239. Об уравнении окружности
§ 240. Нормаль к плоской линии. — § 241. Свойства касательных к эллипсу. — § 242. Свойства касательных к гиперболе. — § 243. Свойства касательных к параболе
§ 244. Диаметры эллипса. — § 245. Диаметры гиперболы. — § 246. Диаметры параболы
§ 247. Преобразование уравнения при замене декартовых координат. — § 248. Понятие инварианта. Примеры. — § 249. Основные инварианты уравнения линии второго порядка. — § 250. Метрические инварианты в случае обобщенных декартовых координат. — § 251. Приложение: теоремы Аполлония
§ 252. Преобразование к центру. —§ 253. Приведение квадратичной формы двух переменных к каноническому виду при помощи ортогональной подстановки. — § 254. Упрощение уравнения нейтральной линии второго порядка. — § 255. Упрощение уравнения линии без определенного центра. — § 256. Второй способ упрощения уравнения совокупности двух параллельных прямых. Условный инвариант. — § 257. Сводка результатов. 1. Аффинная классификация линий второго порядка. — § 258. Сводка результатов. 2. Определение формы и размеров линии второго порядка по её уравнению. — §259. Сводки результатов. 3. Приведение уравнения к нормальному виду и определение положения линии на плоскости. — § 260. Условие подобия днув линий второго порядка. - § 261. Условие конгруэнтности двух линий пторого порядка. Доказательство полноты системы ортогональных инвариантов А, А33, S
§ 262. Обозначения. — § 263. Распадающиеся поверхности второго порядка. Условие совпадения. — § 264. Проективная классификация поверхностей второго порядка. - § 265. Уравнение, определяющее пересечение прямой с поверхностью второго порядка в однородных координатах. — § 266. Касательные прямые. Касательная плоскость. — § 267. Поверхности с эллиптическими, гиперболическими и параболическими точками. — § 268. Касательный конус. Полярная плоскость и полюс. Тангенциальное уравнение
§ 269. Пересечение с несобственной плоскостью. Аффинная классификация. — § 270. Уравнение, определяющее пересечение поверхности второго порядка и прямой в неоднородных декартовых координатах. — § 271. Центр. — § 272. Диаметральные плоскости. — § 273. Диаметральные плоскости и диаметры центральных поверхностей. — § 274. Диаметральные плоскости как полярные плоскости несобственных точек. — § 275. Асимптоты
§ 276. Главные диаметральные плоскости и главные направления. —§ 277. Некоторые общие предложения о преобразовании квадратичной формытрех переменных. — §278. Свойства корней уравнения D(А) = 0 и соответствующих главных направлений. — § 279. Преобразование уравнения поверхности при замене декартовых координат. — § 280. Ортогональные инварианты. — § 281. Приведение уравнения поверхности второго порядка к нормальному виду. 1. Центральные поверхности. — § 282. Приведение уравнения поверхности второго порядка к нормальному виду. 2. Поверхности без определенного центра. — § 283. Приведение уравнения поверхности второго порядка к нормальному виду. 3. Сводка результатов. — § 283а. О правиле знаков Декарта
§ 284. Перечень нормальных уравнении отдельных поверхностей. — § 285. Сечения поверхностей второго порядка параллельными плоскостями. — § 286. Конус второго порядка. — §287. Эллипсоид. — § 288. Однополый гиперболоид. — § 289. Двуполый гиперболоид. — § 290. Эллиптический параболоид. — § 291. Гиперболический параболоид
§ 292. Общие замечания. — § 293. Прямолинейные образующие однополого гиперболоида. — § 294. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида. — §295. Построение линейчатой поверхности второго порядка по трем заданным образующим
§ 296. Предварительные замечания. — § 297. Круговые сечения центральных поверхностен второго порядка. — § 298. Круговые сечения эллиптического параболоида и эллиптического цилиндра
§ 1. Некоторые свойства определителей. — § 2. Ранг определителя или таблицы. — § 3. Решение системы линейных уравнений с определителем, отличным от нуля
§ 4. Алгебраические формы. Линейные формы. — § 5. Система линейных форм. Зависимые и независимые линейные формы. — § 6. Приложение к решению системы линейных однородных уравнений в общем случае. — § 6а. Частный случай. — § 7. Решение системы неоднородных уравнений. — § 8. Линейные подстановки. — § 9. Последовательность линейных подстановок
§ 10. Билинейные и квадратичные формы. — § 11. Преобразование квадратичных форм. —§ 12. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. — § 13. Условия распадения квадратичной формы на два линейных множителя. — § 14. Ортогональные подстановки. — § 15. О приведении квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогональной подстановки