Физика пленяет в значительной мере тем, что ей часто удается объяснить окружающий мир с помощью вещей, которых мы не видим —и, более того, которые вообще не поддаются наглядному представлению, сколько бы мы ни напрягали свое воображение. Мы уже называли несколько примеров подобного рода, в том числе спин частиц, корпускулярно-волновой дуализм, а также деформируемое пространство. Некоторых подобная абстрактность физики раздражает и даже пугает. Других она, наоборот, увлекает, вызывая игру воображения. Поклонники научной фантастики стремятся найти в новой физике богатый кладезь “странных” идей.
Классический пример использования абстрактных понятий для объяснения природы дал в 1915 г. Эйнштейн, опубликовав свою поистине эпохальную общую теорию относительности. Эта работа принадлежит к числу немногих, которые знаменуют поворотные моменты в представлениях человека об окружающем мире. Красота теории Эйнштейна обусловлена не только могуществом и элегантностью уравнений гравитационного поля, но и всесокрушающим радикализмом его взглядов. Теория Эйнштейна не только смела одним махом ньютоновскую теорию гравитации и механику, но и разрушила представление о гравитации как о силе. Общая теория относительности уверенно провозгласила, что гравитация представляет собой геометрию искривленного пространства. Таким образом, Эйнштейн свел само понятие гравитации к чистой геометрии. На смену представлению об ускорении в пространстве пришло представление об искривлении пространства.
Теория Эйнштейна ознаменовала столь важный прогресс в понимании природы, что уже вскоре стал неизбежным пересмотр взглядов и на другие силы природы. В это время единственной “другой” силой, существование которой было твердо установлено, являлось электромагнитное взаимодействие. Однако внешне оно совершенно не походило на гравитацию. Более того, за несколько десятков лет до создания теории гравитации Эйнштейна электромагнетизм успешно описала теория Максвелла, и не было никаких оснований сомневаться в справедливости этой теории.
На протяжении всей жизни Эйнштейн мечтал о создании единой теории поля, в'которой все силы природы сливались бы воедино на основе чистой геометрии. Поискам такой схемы Эйнштейн посвятил большую часть своей жизни после создания общей теории относительности. Однако по иронии судьбы ближе всех к реализации мечты Эйнштейна подошел малоизвестный польский физик Теодор Калуца, который еще в 1921 г. заложил основы нового и неожиданного подхода к объединению физики, до сих пор поражающего воображение своей дерзостью.
Калуца был вдохновлен способностью геометрии описать гравитацию; он задался целью обобщить теорию Эйнштейна, включив электромагнетизм в геометрическую формулировку теории поля. Это следовало сделать не нарушая “священных” уравнений теории электромагнетизма Максвелла. То, что удалось сделать Калуце, — классический пример проявления творческого воображения и физической интуиции. Калуца понимал, что теорию Максвелла невозможно сформулировать на языке чистой геометрии (в том смысле, как мы ее обычно понимаем), даже допуская наличие искривленного пространства. Он нашел удивительно простое решение, обобщив геометрию так, чтобы она “вместила в себя” теорию Максвелла. Чтобы выйти из затруднения, Калуца нашел весьма необычный, но вместе с тем неожиданно убедительный способ. Калуца показал, что электромагнетизм является своего рода “гравитацией”, но не обычной, а “гравитацией” в ненаблюдаемых измерениях пространства.
Физики долю привыкали к тому, чтобы пользоваться временем как четвертым измерением. Теория относительности установила, что пространство и время сами по себе не являются универсальными физическими понятиями, так как они неизбежно сливаются в единую четырехмерную структуру, называемую “пространство-время”. Калуца фактически сделал следующий шаг: он постулировал, что существует еще дополнительное пространственное измерение и общее число измерений пространства равно четырем, а всего пространство-время насчитывает пять измерений. Если принять это допущение, то, как показал Калуца, произойдет своего рода математическое чудо. Гравитационное поле в таком пятимерном мире проявляет себя в виде обычного гравитационного поля плюс электромагнитное поле Максвелла — если наблюдать этот мир из пространства-времени, ограниченного четырьмя измерениями. Своей смелой гипотезой Калуца по существу утверждал, что если мы расширим свое представление о мире до пяти измерений, то в нем будет существовать лишь единственное силовое поле — гравитация. То, что мы называем электромагнетизмом, — всего лишь часть гравитационного поля, которая действует в пятом дополнительном измерении пространства, которое мы не в состоянии наглядно представить.
Теория Калуцы не только позволила соединить гравитацию и электромагнетизм в единой схеме, но и дала основанное на геометрии описание обоих силовых полей. Так, электромагнитная волна (например, радиоволна) в этой теории не что иное, как пульсации пятого измерения. Особенности движения электрически заряженных частиц в электрических и магнитных полях прекрасно объясняются, если предположить, что частицы пребывают в дополнительном пятом измерении. Если принять эту точку зрения, то вообще нет никаких сил — существует только геометрия искривленного пятимерного пространства, а частицы свободно “кочуют” по наделенной структурой пустоте.
Математически гравитационное поле Эйнштейна в пространстве пяти измерений в точности и полностью эквивалентно обычной гравитации плюс электромагнетизм в пространстве четырех измерений; разумеется, это нечто большее, чем просто случайное совпадение. Однако в таком случае теория Калуцы остается загадочной в том отношении, что столь важное четвертое измерение пространства вообще не воспринимается нами. Пространство, доступное нашему непосредственному восприятию, с полной очевидностью и неизменностью остается трехмерным. Если четвертое измерение пространства существует, то где же оно? Прежде чем ответить на этот вопрос, следует также выяснить, что мы в действительности понимаем под размерностью пространства.
В научной фантастике уже давно обыгрываются преимущества, связанные с дополнительными измерениями пространства. Авторы часто обращаются к ним, чтобы перемещать своих персонажей из одного места Вселенной в другое, избегая утомительных путешествий со скоростью света или около того — в общем черепашьим шагом — по обычному трехмерному пространству. Так, в книге Артура Кларка “Космическая Одиссея: 2001" экспедиция на Сатурн завершается рискованным проникновением в дополнительное измерение на одном из спутников Сатурна.
Однако интерес к проблеме размерности пространства возник задолго до появления фантастики. Древние греки остро чувствовали ее значение для развития науки геометрии. Непосредственно столкнуться с проблемой размерности их заставил любопытный случай, связанный со свойствами правильных многоугольников (замкнутых плоских фигур со сторонами равной длины, например квадратов, правильных пяти-, восьмиугольников и т. п.). Количество различных правильных многоугольников безгранично — могут существовать правильные многоугольники с любым числом сторон. Однако существует всего лишь пять типов различных правильных многогранников (замкнутых объемных фигур, грани которых образованы правильными многоугольниками). Грекам было свойственно наделять геометрию глубоким мистическим смыслом, а Птолемей даже написал исследование на тему о размерности, в котором утверждалось, что в природе вообще не может существовать более трех пространственных измерений.
В дальнейшем математики, в частности Риман, систематически изучали свойства многомерных пространств с чисто математических позиций. При этом основная проблема заключалась в формулировке последовательного определения размерности. Это было совершенно необходимо для доказательства строгих теорем относительно пространств с различным числом измерений.
Интуитивно все геометрические структуры мы подразделяем на одно-, двух- и трехмерные в соответствии с их протяженностью. Так, не имеющей протяженности точке соответствует нулевая размерность. Линия является одномерной, поверхность — двумерной, объем — трехмерным. Вряд ли нам удастся лучше сформулировать эти определения, чем это сделал сам Евклид почти за 300 лет до н. э.
Точка — это то, что не имеет частей. Линия — длина, лишенная ширины.
Плоскость — это то, что имеет только длину и ширину. Объем — это то, что имеет длину, ширину и глубину.
Далее Евклид уточнял, что границами линии служат точки, границами поверхности — линии, а границей объемного тела — поверхность. Возникла мысль определить размерность по иерархической схеме, начиная с нулевой размерности точки, а затем шаг за шагом увеличивая ее на единицу. Тогда одномерным будет объект, у которого началом и концом служат точки, т.е. линия. Двигаясь далее, мы по индукции придем к определению четырехмерной структуры как ограниченной трехмерным объемом. Число измерений, которые можно логически ввести таким способом, не ограниченно, однако сама процедура не содержит каких" либо указаний на реальную физическую ситуацию.
Более наглядное и ясное представление о трехмерности можно получить с помощью другой схемы, основанной на указании местоположения точек в пространстве. Представьте себе, что вам необходимо встретиться с приятелем в заранее обусловленном месте. В этом случае можно указать географическую широту и долготу выбранного места; пусть это будет, например, Эмпайрстейт билдинг. Но в этом случае остается еще одна неопределенная величина — высота. На каком этаже должна состояться встреча? Итак, в общей сложности необходимо указать три независимых числа для того, чтобы однозначно определить положение точки в пространстве. По этой причине такое пространство называют трехмерным.
Теория относительности обнаружила, что пространство переплетено со временем, поэтому в действительности следует говорить не об одном только пространстве, а о пространстве-времени. В какой день.вы собираетесь встретиться с приятелем в здании Эмпайр-стейт-билдннг? Указание времени события требует задать единственное число (“дату”), так что время одномерно. Объединяя пространство и время, мы приходим к четырехмерному пространству-времени.
Когда мы пытаемся наглядно представить дополнительные измерения, например, четвертое пространственное измерение (в этом случае полное пространство-время насчитывает пять измерений), нашей интуиции оказывается недостаточно. Для облегчения задачи можно обратиться к аналогии. Вообразим двумерное “блинообразное” создание, которое обречено существовать только на поверхности; у него отсутствуют представления о “верхе” и о “низе”. На рис. 23 изображена такая плоская вселенная. Мы можем догадываться, что эта поверхность в действительности “вложена” в трехмерное пространство, однако обитатель плоского мира не в состоянии понять эту более широкую точку зрения. Он воспринимает только события, происходящие на самой поверхности.
Возникает вопрос: а что будет наблюдать это создание, когда поверхность пересекается трехмерным объектом? Поверхность рассечет этот объект, причем размеры и форма сечения будут в общем случае изменяться по мере прохождения объекта. Так, сечение сферы в первый момент будет выглядеть как точка, которая, постепенно “расплываясь”, превратится в круг все увеличивающегося радиуса; достигнув максимального радиуса, круг начнет уменьшаться в размерах, напоследок снова превратившись в точку. Более сложные объекты будут создавать при прохождении следы более сложного сечения.
Рассуждая далее, по аналогии можно предположить, что четыре измерения пространства-времени “вложены” во вселенную, имеющую пять или даже большее число измерений. Геометрию такой вселенной трудно вообразить, однако с помощью математики можно построить законченное логическое описание ее. Математики уже давно обобщили законы геометрии на случай пространства с произвольным числом измерений (включая бесконечно большое). Поэтому смысл многомерных пространств вполне можно понять, хотя непосредственному восприятию доступно лишь три измерения.
Какие особенности присущи четырехмерному пространству? Один из аспектов размерности касается числа взаимно перпендикулярных направлений, которые существуют в данном пространстве. Например, пространство этой страницы двумерно. Если положить ее на стол, то в любом из углов края страницы образуют две прямые линии, перпендикулярные друг к другу. Из того же угла невозможно провести третью прямую, лежащую в плоскости страницы и перпендикулярную обоим ее краям. Однако направление такой прямой удастся найти, если выйти из плоскости страницы и начертить вертикальную линию. Таким образом, в трехмерном пространстве в отличие от двумерной поверхности страницы существует три взаимно перпендикулярных направления.
В четырехмерном пространстве удалось бы найти четыре взаимно перпендикулярных направления. На рис. 24 изображен случай трех измерений: три взаимно перпендикулярные прямые исчерпывают максимально возможное число таких прямых. Как бы мы ни старались, мы никогда не найдем в обычном пространстве прямую, перпендикулярную всем трем. Любая прямая, перпендикулярная трем названным, должна идти в направлении, не принадлежащем нашему пространству. И хотя мы не в состоянии представить как проходит подобная прямая, очевидно, что формально она могла бы существовать. Ее можно описать, а именно вычислить и систематизировать ее геометрические параметры.
Простым примером сказанного может служить знаменитая геометрическая теорема древнегреческого геометра Пифагора, которая знакома любому школьнику. Эта теорема относится к прямоугольным треугольникам; на рис. 25 длины сторон такого треугольника обозначены соответственно а, b, х. Теорема Пифагора утверждает, что эти величины связаны между собой простой формулой х^2 = а^2+b^2. Если положить для удобства а = 3, b = 4, то х = 5, поскольку 52 = З2 + 42.
Треугольник, изображенный на рис. 25, является, очевидно, двумерным объектом, однако теорему Пифагора можно без труда обобщить на случай трех измерений. На рис. 26 изображен прямоугольный ящик (параллелепипед) со сторонами а, b, с. Теорема Пифагора в этом случае относится к длине х диагонали, проведенной между противоположными вершинами ящика. Соответствующая формула имеет вид х^2 = а^2+b^2+с^2, очень сходный с двумерным случаем; однако теперь для вычисления длины диагонали нам необходимо знать длины трех взаимно перпендикулярных сторон.
В четырехмерном пространстве для нахождения длины диагонали пришлось бы использовать длины четырех взаимно перпендикулярных сторон, а, Ь, с и а. В этом случае формула имела бы вид x^2 = а^2 + b^2 + с^2 + d^2. Таким образом, хотя нам и не удается вообразить четырехмерный ящик, мы в состоянии детально проанализировать его геометрические свойства. ,
Однако при всей важности подобных геометрических рассмотрении такие построения остаются не более чем карточным домиком. И этот домик рухнул с наступлением в конце прошлого века эры современной математики, ознаменовавшейся развитием могущественного раздела математики —теории множеств. Одно из сильнейших потрясений, испытанных математиками, было связано с открытием Георга Кантора. Оно заключалось в том, что линия насчитывает столько же точек, сколько и поверхность. Интуитивное представление, что на поверхности в бесконечное число раз больше точек, чем в проведенной на ней линии, было полностью опровергнуто. Это утверждение было встречено скептически весьма уважаемыми математиками. Некоторые отвергали открытие Кантора, объявив его безумным. Шарль Эрмит писал: “Чтение писаний Кантора напоминает настоящую пытку... Отображение линии на поверхности совершенно неубедительно... подобный произвол... Автору следовало бы подождать с этим...” — и далее в том же духе.
Лишь на рубеже нынешнего столетия справедливость восторжествовала и удалось дать удовлетворительное определение размерности. Благодаря важным работам Л. Е. Дж. Брауэра, Рене Лебега и других была в конце концов найдена надежная процедура сравнения двух пространств с целью сопоставления их размерностей. Соответствующие методы и доказательства основаны на тонких абстрактных понятиях теории множеств, весьма далеких от наших интуитивных представлений. Лишь подобная тщательность и внимание к деталям позволили закрепить формальные основы нашей науки и нашего повседневного опыта.
Какова бы ни была действительная размерность пространства, несомненно, что нашему восприятию непосредственно доступны лишь три измерения. Многие ученые задавались вопросом, можно ли объяснить, почему природа “выбрала” именно число три и является ли это число в определенном смысле выделенным.
В 1917 г. физик Пауль Эренфест написал статью под названием “Каким образом в фундаментальных законах физики отражается тот факт, что пространство трехмерно?”. Эренфест обратил внимание на факт существования устойчивых орбит —типа тех, по каким планеты движутся вокруг Солнца или электроны вокруг атомного ядра. В физике широко распространен закон “обратных квадратов”, описывающий характер изменения различных сил с расстоянием. В гл. 5 мы узнали, что этому закону следуют гравитационные, электрические и магнитные силы. Еще в 1747 г. Иммануил Кант осознал глубокую связь между этим законом и трехмерностью пространства. Уравнения, описывающие гравитационное или электрическое поле точечного источника, можно легко обобщить на случай пространства с другим числом измерений и найти их решения для этого случая. Из этих решений видно, что в пространстве с n измерениями мы приходим к закону обратной степени n— 1. В частности, в трехмерном пространстве n—1=2 и справедлив закон “обратных квадратов”; в четырехмерном пространстве n—1=3 (закон “обратных кубов”) и т.д. Нетрудно показать, что если бы гравитационное поле Солнца действовало на планеты, например, по закону “обратных кубов”, то планеты, двигаясь по спиральным траекториям, довольно быстро упали бы на Солнце и оно поглотило бы их.
Аналогичная картина наблюдается и в мире атомов. Оказывается, что, даже если принять во внимание квантовые эффекты, у электронов не будет устойчивых орбит в пространстве с числом измерений больше трех. А без устойчивых атомных орбит не было бы химических процессов, а следовательно, и жизни.
От размерности пространства существенно зависит еще одно явление — распространение волн. Нетрудно показать, что в пространствах с четным числом измерений не могут распространяться “чистые” волны. За волной обязательно возникают возмущения, которые вызывают реверберацию. Именно поэтому четко сформированные сигналы нельзя передавать по двумерной поверхности (например, по резиновому покрытию). Анализируя этот вопрос, математик Г. Дж. Уитроу в 1955 г. пришел к выводу, что высшие формы жизни были бы невозможны в пространствах чётной размерности, поскольку живым организмам для согласованных действий необходимы эффективная передача и 'обработка информации.
Эти исследования отнюдь не доказывают невозможность другого числа измерений пространства; они лишь говорят о том, что в мире с числом измерений, отличным от трех, физика была бы совершенно другой и, возможно, такой мир был бы значительно менее упорядочен по сравнению с тем, который мы реально воспринимаем.
Как совместить все это с теорией Калуцы, в которой вселенная имеет четыре пространственных измерения? Одна возможность состоит в том, чтобы рассматривать дополнительное, невидимое измерение исключительно как формальный математический прием, не имеющий физического смысла. Однако более привлекательная идея была высказана вскоре после публикации Калуцей первоначального варианта теории.
В 1926 г. шведский физик Оскар Клейн предложил блестящий по простоте ответ на вопрос о том, куда же исчезло пятое измерение Калуцы. Клейн предположил, что мы не замечаем дополнительного измерения потому, что оно в некотором смысле “свернулось” до очень малых размеров. Поясним это на примере шланга для полива. Издали он выглядит просто как извилистая линия. При близком рассмотрении то, что мы принимали за точку на линии, оказывается окружностью (рис. 27). Клейн предположил, что Вселенная устроена'аналогичным образом. То, что мы обычно Считаем точкой в трехмерном пространстве, в действительности является крохотной окружностью в четвертом пространственном измерении. Из каждой точки пространства в направлении ни вверх, ни вниз, ни вбок, ни куда-либо еще в воспринимаемом нами пространстве выходит небольшая “петелька”. Мы не замечаем всех этих “петель” вследствие крайней малости их размеров. Чтобы свыкнуться с идеей Клейна, требуется время. Вопервых, мы не можем представить себе, где же свертываются эти петли? Ведь они находятся не а пространстве, а расширяют его, Подобно тому, как кривая, многократно описывая петлю за петлей, вырисовывает трубку. Мы без труда представляем себе это в двух измерениях, но не в четырех. Однако предположение Клейна все-таки сохраняет смысл. При этом не возникает проблемы ни с устойчивостью орбит, ни с распространенней волн. Дело в том, что ни вещество, ни поля (в виде волн) не могут неограниченно перемещаться в дополнительном измерении. Наличие пятого измерения допустимо, однако ничто не может ускользнуть из него сколь-нибудь далеко. Тем самым теория Калуцы — Клейна, увы, не оставляет никаких надежд фантастам использовать ее для сокращения пути в пространстве.
Клейн вычислил периметр петель вокруг пятого измерения, используя известное значение элементарного электрического заряда электрона и других частиц, а также величину гравитационного взаимодействия между частицами. Он оказался равным 10^-32 см, т.е. в 10^20 раз меньше размера атомного ядра. Поэтому неудивительно, что мы не замечаем пятого измерения: оно скручено в масштабах, которые значительно меньше размеров любой из известных нам структур, даже в физике субъядерных частиц. Очевидно, в таком случае не возникает вопроса о движении, скажем, атома в пятом измерении. Скорее это измерение следует представлять себе как нечто находящееся внутри атома.
Несмотря на ее неординарность теория Калуцы — Клейна на протяжении более полувека оставалась по существу не более чем математическим курьезом. С открытием в 30-е годы нашего столетия слабых и сильных взаимодействий идеи объединения гравитации и электромагнетизма в значительной мере потеряли свою привлекательность. Последовательная единая теория поля должна была включить в себя уже не две, а четыре силы. Очевидно, это нельзя было сделать, не достигнув глубокого понимания слабых и сильных взаимодействий. В конце 70-х годов благодаря свежему ветру, принесенному теориями Великого объединения (ТВО) и супергравитацией, вспомнили старую теорию Калуцы — Клейна. С нее стряхнули нафталин, сдули пыль, приодели по моде и включили в нее все известные на сегодня взаимодействия.
В ТВО теоретикам удалось собрать в рамках одной концепции три очень различных вида взаимодействий; как мы узнали из предыдущих глав, это обусловлено тем, что все три взаимодействия могут быть описаны с помощью калибровочных полей. Основное свойство калибровочных полей состоит в существовании абстрактных симметрий, благодаря которым этот подход обретает элегантность и открывает широкие возможности. Наличие симметрий силовых полей достаточно определенно указывает на проявление некоторой скрытой геометрии. В возвращенной к жизни теории Калуцы — Клейна симметрии калибровочных полей приобретают конкретность — это геометрические симметрии, связанные с до-волнительными измерениями пространства.
Как и в первоначальном варианте, взаимодействия вводятся в теории путем присоединения к пространству-времени дополни-тельных пространственных измерений. Однако, поскольку теперь надо дать пристанище взаимодействиям- трех типов, приходится вводить несколько дополнительных измерений. Простой подсчет количества операций симметрии, входящих в ТВО, приводит к теории с семью дополнительными пространственными измерениями (так что их общее число достигает десяти); если же учесть время, то всего пространство-время насчитывает одиннадцать измерений. Таким образом, современный вариант теории Ка-луцы — Клейна постулирует одиннадцатимерную вселенную.
При этом необходимо предполагать, что дополнительные семь измерений пространства каким-то образом свернуты в стольмалых масштабах, что мы вообще не замечаем их. Одно дополнительное измерение можно свернуть лишь единственным способом, а именно в “окружность”. Однако многомерные пространства можно свернуть (или компактифицировать) различными способами. Например, двумерную поверхность можно присоединить так, чтобы она образовывала либо поверхность сферы, либо поверхность тора (фигуры, имеющей формы бублика). Обе структуры замкнуты, и их размеры могут быть предельно малыми; однако они существенно различаются своей топологией: у бублика есть дырка!
Когда же речь идет о семи измерениях, набор возможных топологий становится чрезвычайно большим. Какая из них верна? Один из наиболее привлекательных вариантов — это семимерный аналог сферы, т.е. 7-сфера. Если невидимые измерения пространна действительно имеют такую форму, это означает, что каждая точка трехмерного пространства фактически представляет собой крохотный семимерный “гипершар”, 7-сфера привлекла внимание математиков более полувека назад в связи с тем, что она обладает рядом уникальных геометрических свойств. Нет необходимости входить в детали этого, но если бы природе понадобилась замкнутая геометрическая структура, допускающая существование в реальном мире всех известных фундаментальных взаимодействий, то простейшей из них была бы 7-сфера. Все наблюдаемые нами структуры — от атомов до галактик — нельзя получить с помощью более простой математической конструкции.
Сфера — в высшей степени симметричная фигура, причем 7-сфера обладает многими дополнительными симметриями, не свойственными обычной сфере. Именно с их помощью удается смоделировать основополагающие калибровочные симметрии силовых полей. Однако физикам понадобилось много времени, чтобы обнаружить эти поля, в частности по той причине, что симметрии иногда оказываются скрытыми, или нарушенными (в том смысле, как это описано в гл. 8). В теории Калуцы — Клейна такое нарушение симметрии достигается небольшой деформацией семимерной структуры, ее отклонением от идеальной сферичности. Слегка сплюснутая 7-сфера считается сейчас наиболее вероятной конфигурацией дополнительных компактифицированных измерений пространства.
Воскрешенная теория Калуцы — Клейна вдохновила теоретиков на переформулировку законов физики с учетом одиннадцати измерений. При этом возникла необходимость объяснить, почему единое пространство-время допускает расщепление размерностей на семь и четыре. Насколько неизбежно, чтобы семь из одиннадцати измерений свернулись, став невидимыми, а остальные четыре оказались доступными непосредственному восприятию, или возможны и другие разбиения, например на восемь и три?
В поисках причин спонтанной компактификации семи измерений теоретики исходили из того, что физические системы всегда стремятся к состоянию с наименьшей энергией. В гл. 8 мы уже приводили пример действия этого принципа: шарик на поверхности “сомбреро” в конечном итоге переходит в устойчивое состояние с наименьшей энергией, скатываясь на “поля” сомбреро. Это наводит на мысль, что слегка сплюснутая 7-сфера в некотором смысле воплощает в себе конфигурацию пространства-времени с наименьшей энергией.
Вместе с тем можно допустить, что 7-сфера — лишь одна из многих возможных конфигураций. Заманчиво предположить, что где-то в космосе, за пределами наблюдаемой Вселенной пространство имеет другое число измерений. Возможно, переместившись на тысячи миллионов световых лет, мы оказались бы в мире с пятью пространственными измерениями вместо трех. Тогда мы смогли бы ответить на вопрос: «Почему три?». Одиннадцатимерное пространство-время могло бы быть разбито на области (домены) с различной наблюдаемой размерностью. Поскольку свойства силовых полей зависят от геометрических симметрия компактифицированных измерений, характер взаимодействий должен был бы изменяться при переходе от одной области к другой. Эти изменения порождали бы ряд проблем, обсуждавшихся ранее, в частности связанных с устойчивостью, волновым движением и т. п. В результате физические условия в областях пространства-времени, где нет обычного расщепления на семь и четыре, резко отличались бы от условий, существующих в наблюдаемой нами Вселенной. Сомнительно, чтобы в подобных областях могла цвести жизнь или вообще могло что-либо существовать. Живые организмы имеют чрезвычайно тонкую организацию и их существование, по-видимому, критически зависит от единственно гармоничного сочетания взаимодействий, которое характерно для нашей Вселенной. Отсюда следует, что мы самим своим существованием выбрали область пространства-времени с тремя пространственными измерениями, доступными непосредственному восприятию. Мы просто не смогли бы жить в области с иным числом измерений.
Использование так называемого антропного принципа для объяснения трехмерности непосредственно воспринимаемого нами пространства порождает новые интересные вопросы. Должно ли полное число измерений пространства-времени неизбежно равняться одиннадцати или оно также может меняться от места к месту? Не может ли существовать мир, в котором из полного числа измерений, равного двадцати одному, семнадцать свернулись в компактную структуру? Такой мир будет обладать значительно более сложной системой силовых полей, чем те четыре взаимодействия, которые мы наблюдаем в окружающем нас мире. Кто знает, какие замысловатые структуры, какие утонченные формы жизни могли бы возникнуть в такой вселенной?
На протяжении всей истории человечества люди увлекались цифрологией, исповедовали культ чисел. Древние греки наделяли определенные числа мистическим смыслом. До наших дней число четыре — число сторон квадрата — хранит следы того, что в древности связывалось с честностью и справедливостью, — как в выражении a square deal (честная сделка). (Square в английском языке означает, с одной стороны, «квадрат, прямоугольник », а с другой — «честный», «прямой», а также «ровный», «точный».)
Многие люди до сих пор верят в «счастливые» и «несчастливые» числа, такие, как три, семь, тринадцать. В Библии неоднократно упоминаются числа семь и сорок; число 666 люди связывают с дьяволом и т. п.
Когда мы встречаемся с теми или иными числами, возникает искушение поискать скрывающийся за ними смысл. Иногда эти числа кажутся чисто случайными, как, например, число планет в Солнечной системе. За другими, возможно, скрывается какой-то более глубинный смысл. Так, оказалось, что число адронов определяется числом возможных комбинаций кварков. А что такое размерность пространства-времени: столь же случайное число, как количество планет и тому подобное? Или это указание на существование фундаментальных фактов, отражающих на языке логики и математики структуру физического мира?
Имеется любопытное свидетельство того, что число одиннадцать действительно имеет глубокий математический смысл. Оно происходит из области физики, называемой супергравитацией, которая, по крайней мере на первый взгляд, совершенно не связана с теорией Калуцы-Клейна.
В предыдущей главе рассматривался наиболее многообещающий вариант супергравитации , называемый N=8. Это таинственное обозначение требует расшифровки. Операция суперсимметрии связывает частицы с разными спинами в единое суперсемейство, содержащее 163 частицы. Может возникнуть вопрос, почему их только 163. Если операция суперсимметрии превращает частицы с одним значением спина в частицы с другим спином, то что мешает, продолжая этот процесс до бесконечности, получить таким образом бесконечное количество частиц с произвольно большими значениями спина? Но чтобы операция суперсимметрии действительно представляла собой один из видов симметрии, она должна содержать лишь «замкнутую» последовательность операций. Подобная операция создает только конечное семейство частиц. Кроме того, поскольку в силу веских математических причин не могут существовать частицы со спином больше 2, суперсемейство из 163 частиц оказывается максимально возможным. N=8 обозначает число шагов, посредством которых операция суперсимметрии связывает частицы с различными спинами (в пределах возможного диапазона значений). Так как спин может быть направлен «вверх» либо «вниз», его проекция может изменяться от значения +2 (частица со спином 2, направленным «вверх») до значения —2 (частица со спином 2, направленным «вниз»), причем это изменение происходит с шагом 1/2. Очевидно, что в интервале от —2 до +2 восемь таких шагов; это означает, что для создания всего суперсемейства частиц со всевозможными значениями проекций . спина, необходимо восемь операций суперсимметрии. Оказывается, что это число связано и с количеством различных типов гравитино , которое в этой теории также равно восьми. Понятие спина связано со свойствами вращения частиц в обычном трехмерном пространстве. Математики одно время тешились построением описания спина в пространствах с другим числом измерений — чтобы посмотреть, как это будет выглядеть. Оказывается, однако, что если основываться на супергравитации , то теория значительно упрощается, когда число измерений превышает три. В частности, для простейшей из всех формулировок требуется как раз одиннадцать измерений: в этом случае восемь различных операций суперсимметрии, соответствующих супергравитации « N = 8», вырождаются в единственную операцию, и возникает супергравитация « N =1».
Представим себе восторг математика, который, не имея представления о размерности реальной Вселенной и исходя лишь из соображений элегантности и единства описания, открыл бы супергравитацию . Он будет вынужден сформулировать теорию пространства-времени в одиннадцати измерениях и сделать вывод, что если бы природа имела представление о самой себе, то она, конечно, «выбрала» бы число одиннадцать в качестве размерности реального мира. Является ли это обстоятельство простой случайностью или оно указывает на глубокую связь супергравитации с теорией КалуцыКлейна? Многие физики надеются, что такая связь действительно существует, и два направления объединения в физике — супергравитация и теория Великого объединения — приведут к созданию единого описания. Саламу принадлежит высказывание:
Если эта теория справедлива, то мы, возможно, очень близки к окончательному и полному объединению всех взаимодействии и обладающего спином вещества, в котором (объединении) фундаментальные заряды служат проявлением скрытых размерностей пространства.
Мы убедились, насколько близка к реализации мечта Эйнштейна о построении единой теории поля на основе геометрии. В современном варианте теории Калуцы-Клейна все силы природы, подобно гравитации, рассматриваются как проявление структуры пространства-времени. То, что мы обычно называем гравитацией, обусловлено кривизной четырехмерного пространства-времени, тогда как остальные силы обусловлены кривизной пространства более высокой размерности. Все силы природы выступают просто как проявление скрытой геометрии. Еще в 1870 г. математик У. К. Клиффорд, обращаясь с мемуаром «О пространственной теории материи» в престижное Кембриджское философское общество, писал:
Небольшие участки пространства напоминают холмы на ровной в среднем поверхности... Подобные деформации (или искривления) непрерывным образом, точно волна, переходят из одной области пространства в другую... Изменение кривизны пространства и есть то явление, о котором мы говорим как о движении материи. Вообще в физическом мире не происходит ничего, кроме такого изменения.
Эти мысли звучат удивительно пророчески, если вспомнить об общей теории относительности, примерно полвека спустя созданной Эйнштейном. Однако Клиффорд, по-видимому, пошел дальше общей теории относительности, предположив, что не только силы, но и частицы вещества в сущности представляют собой всего лишь «кочки» и «ухабы» пустого пространства.
Есть глубокие основания предполагать, что вся Вселенная, включая, по-видимому, «твердое» вещество, воспринимаемое нашими органами чувств, — это всего лишь проявление извилистого ничто. Мир в конечном итоге окажется слепком абсолютной пустоты, самоорганизованным вакуумом. Геометрия сыграла роль повивальной бабки науки. Кропотливая работа многих поколений астрономов, наносивших на карты звездного неба траектории небесных тел, привела в конечном счете к ньютоновской научной революции и объяснила движение небесных светил с помощью сил и полей. Теперь круг замыкается: поля и взаимодействия получают объяснение на языке геометрии.
В начале 60-х годов американский физик-теоретик Джон Уилер, обобщив труды Клиффорда и Эйнштейна, попытался создать всеобъемлющую теорию, основанную лишь на геометрии пустого пространства-времени. Он назвал свою программу геометродинамикой. Ее цель состоит в объяснении природы как частиц, так и взаимодействий на основе геометрии.
Хорошей иллюстрацией общих идей, лежащих в основе теории Уилера, может служить его модель электрического заряда. По мнению Уилера , заряженная частица представляет собой нечто вроде входа в крошечный туннель, соединяющий друг с другом точки пространства и проходящий через другое измерение. Противоположный конец туннеля предстает перед нами как другая частица с зарядом противоположного знака. Таким образом, два конца уилеровской «кротовой норы» могли бы соответствовать, например, паре электрон — позитрон. Физики прошлого века сказали бы, что электрические силовые линии сходятся к заряженной частице и заканчиваются на ней, а в теории Уилера эти линии просто концентрируются в норе, вновь появляясь с другого конца (рис. 28). Согласно этим представлениям, в источниках электрического поля вообще нет необходимости: нужны лишь «дыры» в пространстве, засасывающие в себя электрические поля.
Геометродинамика обладает множеством подобных замечательных свойств, однако эта теория никогда не пользовалась особым успехом. Сам Уилер писал, что «наиболее очевидным недостатком теории является то, что в ней вообще нет естественного места для спина 1/2, и для частицы нейтрино в частности».
В дальнейшем Уилер пришел к убеждению, что вообще никакая теория, в которой изначально принимается существование пространства-времени, не может объяснить само это понятие. В частности, размерность пространства-времени привносится с самого начала в такую теорию и потому не может быть следствием. Любая законченная теория природы должна объяснить существование «исходного материала» — самого пространства-времени, — из которого далее строится геометродинамический мир.
Уилер полагает, что подобная теория может основываться лишь на идеях квантовой физики, и предвидит время, когда мы поймем, каким образом именно квант (а не пространство-время) служит основным «кирпичиком» мироздания.
Теперь нам уже ясно, что неудача теории Уплера отчасти обусловлена тем, что она ограничивается четырьмя измерениями. При полном числе измерений, равном одиннадцати, резко возрастает разнообразие и сложность физических структур, которые удается построить. В теории Калуцы-Клейна частицы рассматриваются не как «кротовые норы», а как возбуждения пространства с одиннадцатимерной геометрией. Остается только надеяться, что саму эту геометрию удастся объяснить с помощью квантовых явлений, как это предлагается программой Уилера.
Сколь бы прекрасной ни была природа, однако сами по себе красота и изящество теории не могут убедить физиков в ее истинности. Необходимы неопровержимые физические доказательства. Могущество и элегантность одиннадцатимерной теории Калуцы-Клейна обязывают нас относиться к ней серьезно, однако, если не найдется никаких способов доказать существование семи дополнительных пространственных измерений, теория в значительной мере потеряет свою привлекательность.
К счастью, по-видимому, можно продемонстрировать существование дополнительных измерений. Чтобы теория Калуцы-Клейна была единственной, семь дополнительных измерений пространства должны свернуться, по всей вероятности, в форме 7-сферы диаметром порядка 10-32 см. Изучение подобных ультрамикроскопических структур представляет серьезный вызов современной физике. Пока столь малые объекты нам не подвластны, ибо нечего направить «внутрь» 7-сферы для ее изучения.
В квантовой физике каждому масштабу длин сопоставляется масштаб энергий (или эквивалентных масс). Например, диаметр ядра (около 10-12 см) соответствует примерно массе пиона. Чем меньше изучаемый масштаб длин, тем выше необходимая для этого энергия. Для изучения кварковой структуры протона требуются энергии, эквивалентные по крайней мере десятикратной массе протона. Значительно выше по шкале энергий расположена масса, соответствующая Великому объединению (примерно 10^14 масс протона). Если нам когда-либо удастся достичь столь огромной массы (энергии), от чего мы сегодня весьма далеки, то появится возможность изучить мир Х-частиц, в котором стираются различия между кварками и лептонами.
Какая же энергия необходима, чтобы проникнуть «внутрь» 7-сферы и исследовать дополнительные измерения пространства? Согласно теории Калуцы-Клейна, требуется превзойти масштаб Великого объединения и достичь энергий, эквивалентных 10^19 масс протона. Лишь при таких невообразимо огромных энергиях удалось бы непосредственно наблюдать проявления дополнительных измерений пространства.
Эта огромная величина — 10^19 масс протона — носит название массы Планка, так как она была впервые введена Максом Планком, создателем квантовой теории. При энергии, соответствующей массе Планка, все четыре взаимодействия в природе слились бы в единую Суперсилу, а десять пространственных измерений оказались бы полностью равноправными. Если бы удалось сконцентрировать достаточное количество энергии, обеспечивающее достижение массы Планка, то полная размерность пространства проявилась бы во всем своем великолепии.
Дав свободу воображению, можно представить, что однажды человечество овладеет Суперсилой. Если бы это случилось, то мы обрели бы власть над природой, поскольку Суперсила в конечном счете порождает все взаимодействия и все физические объекты; в этом смысле она является первоосновой всего сущего. Овладев Суперсилой, мы смогли бы менять структуру пространства и времени, по-своему искривить пустоту и привести в порядок материю. Управляя Суперсилой, мы смогли бы по своему желанию создавать или превращать частицы, генерируя новые экзотические формы материи. Мы даже смогли бы манипулировать размерностью самого пространства, создавая причудливые искусственные миры с немыслимыми свойствами. Мы стали бы поистине властелинами Вселенной!
Но как этого достичь? Прежде всего необходимо добыть достаточное количество энергии. Чтобы представить, о чем идет речь, напомним, что линейный ускоритель в Станфорде длиной 3 км разгоняет электроны до энергий, эквивалентных 20 массам протона. Для достижения энергии Планка ускоритель потребовалось бы удлинить в 10^18 раз, сделав его размером с Млечный Путь (около ста тысяч световых лет). Подобный проект не из тех, что удастся осуществить в обозримом будущем.
В теории Великого объединения отчетливо различаются три пороговых значения, или масштаба, энергии. Прежде всего — это порог Вайнберга-Салама , эквивалентный почти 90 массам протона, выше которого электромагнитные и слабые взаимодействия сливаются в единое электрослабое. Второй масштаб, соответствующий 10^14 массам протона, характерен для Великого объединения, и основанной на нем новой физики. Наконец, предельный масштаб — масса Планка, — эквивалентный 10^19 массам протона, соответствует полному объединению всех взаимодействий, в результате чего мир поразительно упрощается. Одна из самых больших нерешенных проблем состоит в объяснении существования этих трех масштабов, а также причины столь сильного различия первого и второго из них.
Современная техника способна обеспечить достижение лишь первого масштаба. Как отмечалось в предыдущей главе, распад протона мог бы дать нам косвенное средство для изучения физического мира в масштабе Великого объединения, хотя в настоящее время, по-видимому, нет никаких надежд непосредственно достичь этот предел, не говоря уже о масштабе массы Планка.
Означает ли это, что мы никогда не сможем наблюдать проявлений изначальной суперсилы и невидимых семи измерений пространства. Используя такие технические средства, как сверхпроводящий суперколлайдер, мы быстро продвигаемся по шкале достижимых в земных условиях энергий. Однако создаваемая людьми техника отнюдь не исчерпывает всех возможностей — существует и сама природа. Вселенная представляет собой гигантскую естественную лабораторию, в которой 18 млрд. лет назад был «проведен» величайший эксперимент в области физики элементарных частиц. Мы называем этот эксперимент Большим взрывом. Как будет сказано далее, этого изначального события оказалось достаточно для высвобождения — хотя и на очень короткое мгновение — Суперсилы. Впрочем, этого, видимо, оказалось достаточно, чтобы призрачное существование Суперсилы навсегда оставило свой след.
Темпы современных исследований таковы, что с тех пор, как английское издание книги было направлено в печать, в развитии программы Великого объединения достигнуты дальнейшие успехи — создана так называемая теория суперструн.
При обычном подходе к построению модели мира предполагается, что все вещество состоит из частиц, а поиск фундаментальных частиц является главной целью физики высоких энергий. Как мы видели, даже поля, описывающие силы природы, получают интерпретацию с помощью частиц — переносчиков взаимодействия. Но теперь этому фундаментальному предположению брошен вызов. По-видимому, мир состоит не из частиц, а из струн.
Теория струн возникла в 60-е годы при попытках выяснить внутреннее строение адронов. Оказывается, что кварки, связанные друг с другом снующими внутри адронов глюонами, в некотором отношении ведут себя подобно нитям, или струнам. Теория сначала вызвала определенный интерес, однако не была вполне успешной. В частности, обнаружилось, что при определенных условиях струны двигались бы быстрее света, что абсолютно недопустимо. Развитие тематики, связанной со струнами, приостановилось, и большинство физиков обратились к другим проблемам, а теория поддерживалась главным образом усилиями Майкла Грина из Колледжа королевы Марии при Лондонском университете и Джона Шварца из Калифорнийского технологического института, США.
Затем в середине 70-х годов теория струн получила значительное развитие, которое в конечном счете привело к превращению заумной старой теории в нечто несравненно более мощное и элегантное. В это время теория элементарных частиц находилась под большим влиянием концепции суперсимметрии, и теоретики исследовали результаты перехода к суперсимметричным струнам. При этом выяснилось, что новые « суперструны » имеют огромные преимущества перед старыми струнами. Во-первых, из теории было исключено сверхсветовое движение. Во-вторых, в пределе низких энергий теория выглядела весьма обычной — очень напоминала супергравитацию . Стало складываться впечатление, что теория суперструн может оказаться значительно более широкой, нежели просто теория адронов. Затем в 1982 г. Грин и Шварц обнаружили, что суперсимметрия позволяет изгнать бесконечности в случае струн аналогично тому, как это делает теория частиц.
Бесконечности при высоких энергиях, вызывавшие столько беспокойства в теориях частиц и старой теории струн, в определенном классе теорий суперструн полностью исчезли.
Однако лишь в 1983 г. произошло то, что заставило физиков обратить серьезное внимание на теорию суперструн. Речь идет о замечательном математическом свойстве этой теории, которое казалось «слишком хорошим, чтобы быть верным». Один из недостатков физики квантовых частиц носит название проблемы аномалий. Под этим безобидным термином понимают появляющиеся в квантовой теории математические члены, которые согласно фундаментальным свойствам симметрии, присущим теории еще до квантования, должны быть равны нулю. Иными словами, придание теории квантового характера вызывает неожиданное появление в ней членов, которые «не имеют права» на существование. Эти члены нарушают последовательность теории и могут приводить к столь нежелательным последствиям, как нарушение законов сохранения энергии и электрического заряда. Поразительное свойство конкретного варианта теории суперструн , исследованной Грином и Шварцем, состоит в неожиданной перегруппировке математических членов, которая точно компенсирует и устраняет аномалии! По словам Майкла Грина, «происходит сокращение слагаемых, от которых ничего подобного нельзя было ожидать». Таким образом, теория удивительным образом освобождается от аномалий.
Устранения аномалий оказалось достаточно, чтобы привлечь к теории суперструн внимание других известных теоретиков; но это было лишь начало. Выяснилось, что сокращение происходит лишь в том случае, когда суперструны конструируются на основе очень частного вида калибровочной симметрии (она известна как группа SO (32), или E 8 x E 8 ). В отличие от теории частиц, где можно свободно выбирать среди многих конкурирующих видов калибровочной симметрии, в последовательной теории суперструн выбор разрешенной калибровочной группы почти однозначен. Обе допустимые группы включают уже известные — например группу SU (3), связанную со слабыми, сильными и электромагнитными силами. Этот факт указывает на сходство теории суперструн со стандартной физикой частиц в области низких энергий.
Последнее обстоятельство, сразу обеспечившее теории суперструн хорошую репутацию, заключается в том, что эту теорию. Следует формулировать в пространстве-времени с десятью измерениями. В прошлом считалось, что высокая размерность теории суперструн делает ее безнадежно нереалистической, однако по прошествии нескольких лет под влиянием теорий Калуцы-Клейна физики восприняли идею высокой размерности довольно спокойно. В конце концов с нежелательными высокими размерностями всегда можно справиться с помощью «компактификации».
Однако десятимерная теория имеет важное математическое преимущество по сравнению с одиннадцатимерной теорией Калуцы-Клейна. Как показал Эд Уиттен из Принстона, любая теория, формулируемая в пространстве нечетной размерности, обладает серьезным недостатком. Речь идет о существовании в природе «врожденной» закрученности вправо или влево — «киральности». Как отмечалось, слабое взаимодействие вносит в физику асимметрию между левым и правым, и к четырехмерной теории киральной вселенной можно прийти лишь в том случае, если исходить из теории с четным числом измерений. Это препятствие, весьма серьезное для теории Калуцы-Клейна, полностью устранено в десятимерной теории суперструн.
Основное преимущество струн перед частицами состоит в их поведении при высоких энергиях. При низких энергиях струны ведут себя вполне аналогично частицам, однако с приближением к энергии Планка становятся существенными внутренние движения — струны начинают «вибрировать». Это резко меняет математическую структуру теории как раз там, где обычная теория начинает давать сбои и приводит к нежелательным бесконечностям. Благодаря объединению суперсимметрии и внутреннего движения струн становится весьма вероятным полное избавление от этих бесконечностей.
Таким образом, теории суперструн, возникшие из скромных попыток смоделировать некоторые свойства адронов, приобрели статус вполне зрелой программы объединения взаимодействий. Эти теории делятся на два класса: струны со свободными концами и струны в виде замкнутых петель. Грин и Шварц предпочли сначала вариант струн со свободными концами, однако в этом случае допустима лишь группа симметрии SU (32). Некоторые теоретики обнаружили, что более привлекательна другая группа E 8 , в частности потому, что позволяет построить теорию как чисто гравитационную и извлечь из нее другие силы, подобно тому как это делается в теории Калуцы-Клейна.
Буква Е указывает здесь на особый характер группы (англ. exceptional.), которая названа так, поскольку ее существование математически неочевидно. В модели замкнутых струн используется удвоенная группа E 8 (обозначаемая E 8 x E 8 ), что открывает интересную возможность: предсказывается существование двух различных миров — по одному на каждую группу Е. Частицы в каждом из этих миров обладают всеми обычными свойствами, включая способность взаимодействовать друг с другом посредством различных сил природы. Однако у частиц в «другом» мире будет существовать свой собственный идентичный набор иных взаимодействий. Таким образом, между частицами из разных миров не будет прямого взаимодействия, за исключением гравитации. Гравитационные эффекты, обусловленные веществом «иного» мира, будут проявляться и в «этом» мире.
Это приводит к фантастической идее о существовании «призрачной вселенной», взаимопереплетенной с реальной Вселенной, но во многом остающейся незаметной. Так, может существовать «призрачная материя», проникающая в вас в данный момент; ее слабое гравитационное воздействие не способно вызвать заметные эффекты. Вместе с тем «призрачная» планета, проходящая через Солнечную систему, могла бы сдвинуть Землю с ее орбиты. «Призрачную» черную дыру нельзя отличить от черной дыры из обычного вещества. Очень существенно, что космологам давно известно о существовании во Вселенной огромного количества невидимого вещества, вызывающего гравитационное возмущение, но в остальном остающегося совершенно незаметным. Возможно, что это невидимое вещество и есть «призрачная материя».
Уиттен отозвался о теории суперструн как о «безусловном чуде» и уверенно предсказал ей ведущую роль в физике в предстоящие пятьдесят лет. Будущее покажет, насколько оправданна или преждевременна такая эйфория, однако предстоит большая работа. Как и теория Калуцы-Клейна, теория суперструи имеет всеобъемлющий характер. Это означает, что, начиная с Суперсилы — всеобщего и изящного объединения частиц и взаимодействий при сверхвысоких энергиях, теория в конечном счете так или иначе должна вернуться к описанию обычных физических явлений. Если теория вообще претендует на установление контакта с экспериментальной физикой, то необходим переход от струн в десяти измерениях к свойствам частиц в четырех измерениях при низких энергиях. В настоящее время математические проблемы, связанные с подобным шагом, кажутся непреодолимыми. Тем не менее концепция, которая известна под названием «теория всего сущего», — программа полного объединения в форме теории Калуцы-Клейна или суперструн — столь привлекательна, что многие талантливые теоретики с нетерпением ждут возможности испробовать свои силы.