Ф. Рисс, Б. Сёкефальви-Надь
Лекции по функциональному анализу

М. : Мир, 1979. - 592 с.

На главную страницу | Функциолнальный анализ

Титул

Оглавление

Предисловие редактора второго русского издания

Предисловие ко второму русскому изданию

Предисловие

Часть первая. Современные теории производной и интеграла

Глава I. Производная

§ 1. Теорема Лебега о производной монотонной функции
1. Пример непрерывой функции, не имеющей производной
2. Теорема Лебега о производной монотонной функции. Множества меры нуль
3. Доказательство теоремы Лебега
4. Функции с ограниченным изменением

§ 2. Некоторые следствия тгоремы Лебега
5. Теорема Фубини о почленном дифференцировании ряда с монотонными членами
6. Точки плотности линейных множеств
7. Функции скачков
8. Произвольные функции с ограниченным изменением
9. Теорема Данжуа-Юнг-Сакса о производных числах любой функции

§ 3. Функции интервала
10. Вводные замечания
11. Первая основная теорема
12. Вторая основная теорема
13. Интегралы Дарбу и интеграл Римана
14. Теорема Дарбу
15. Функции с ограниченным изменением и спрямляемые кривые

Глава II. Интеграл Лебега

§ 1. Определение и основные свойства
16. Интегралы ступенчатых функций. Две леммы
17. Интегралы суммируемых функций. Интегрирование возрастающих последовательностей (теорема Б. Леви)
18. Интегрирование последовательностей, имеющих суммируемую мажоранту (теорема Лебега)
19. Теоремы о суммируемости предельной функции
20. Неравенства Шварца, Гёльдера и Минковского
21. Измеримые множества и измеримые функции

§ 2. Неопределенные интегралы. Абсолютно непрерывные функции
22. Полное изменение и производная неопределенного интеграла
23. Пример монотонной непрерывной функции, производная которой почти всюду равна нулю
24. Абсолютно непрерывные функции. Каноническое разложение монотонной функции
25. Интегрирование по частям и интегрирование с помощью подстановки
26. Интеграл как функция множества

§ 3. Пространство L² и линейные функционалы в нем. Пространства L^p
27. Пространство L². Сходимость в среднем. Теорема Рисса—Фишера
28. Слабая сходимость
29. Линейные функционалы 30. Последовательности линейных функционалов. Теорема Осгуда
31. Сепарабельность пространства L². Теорема выбора
32. Ортонормированные системы
33. Подпространства пространства L². Теорема о разложении
34. Другое доказательство теоремы выбора. Продолжение функционалов
35. Пространство L^p и его линейные функционалы
36. Одна теорема о сходимости в среднем
37. Теорема Банаха—Сакса

§ 4. Функции нескольких переменных
38. Определения. Принцип соответствия
39. Повторное интегрирование. Теорема Фубини
40. Производные (относительно сети) неотрицательной аддитивной функции прямоугольника. Параллельные переносы сети
41. Функции с ограниченным изменением. Сопряженные сети
42. Аддитивные функции множества. В-измеримые множества

§ 5. Другие определения интеграла Лебега
43. L-измеримые множества
44. L-измеримые функции и L-интеграл
45. Другие определения. Теорема Егорова
46. Элементарное доказательство теорем Арцела и Осгуда
47. Интегрирование в смысле Лебега как операция, обратная дифференцированию

Глава III. Интеграл Стильтьеса и его обобщения

§ 1. Линейные функционалы в пространстве непрерывных функций
48. Интеграл Стильтьеса
49. Линейные функционалы в пространстве С
50. Единственность производящей функции
51. Продолжение линейного функционала
52. Теорема о приближении. Проблема моментов
53. Ийтегрирование по частям. Вторая теорема о среднем
54. Последовательности функционалов

§ 2. Обобщения интеграла Стильтьеса
55. Интегралы Стильтьеса—Римана и Стильтьеса—Лебега
56. Сведение интеграла Стильтьеса—Лебега к интегралу Лебега
57. Соотношение между двумя интегралами Стильтьеса—Лебега
58. Функции нескольких переменных. Прямые определения
59. Определение, основанное на принципе соответствия

§ 3. Интеграл Даниеля
60. Положительные линейные функционалы
61. Функционалы произвольного знака
63. Производная одного линейного функционала относительно другого

Часть вторая. Интегральные уравнения. Линейные операторы

Глава IV. Интегральные уравнения

§ 1. Метод последовательных приближений
64. Понятие интегрального уравнения
65. Ограниченные ядра
66. Ядра с суммируемым квадратом. Линейные операторы в Пространстве L²
67. Обратный оператор. Регулярные и особые точки
68. Итегрированные идра. Резольвента
69. Приближение произаольного ядра ядрами конечного ранга

§ 2. Альтернатива Фредгольма
70. Интегральные уравнения с ядрами конечного ранга
71. Интегральные уравнения с ядрами общего вида
72. Разложение оператора, соответствующее заданной особой точке
73. Альтернатива Фредгольма в случае произвольного ядра

§ 3. Определители Фредгольма
74. Метод Фредгольма
75. Неравенство Адамара

§ 4. Метод, основанный на полной непрерывности
76. Полная непрерывность
77. Подпространства M_n R_n
78. Случаи ν = 0 и ν ≥ 1. Теорема о разложении
79. Расположение особых точек
80. Каноническое разложение, соответствующее особой точке

§ 5. Приложения к теории потенциала
81. Задачи Дирихле и Неймана. Решение их методом Фредгольма

Глава V. Гильбертово и банаховы пространства

§ 1. Гильбертово пространство
82. Координатное гильбертово пространство
83. Абстрактное гильбертово пространство
84. Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Основные понятия
85. Вполне непрерывные линейные операторы
86. Биортогональные последовательности. Теорема Пэли и Винера

§ 2. Банаховы пространства
87. Банаховы пространства и пространства, им сопряженные
88. Линейные операторы. Сопряженные операторы
89. Функциональные уравнения
90. Операторы в пространстве непрерывных функций
91. Ещё о теории потенциала

Глава VI. Симметричные вполне непрерывные операторы в гильбертовом пространстве

§ 1. Существование собственных элементов. Теорема о разложении
92. Собственные значения и собственные элементы. Простейшие свойства симметричных операторов
93. Вполне непрерывные симметричные операторы
94. Решение функционального уравнения f—λAf=g
95. Непосредственное отыскание n-го собственного значения заданного знака
96. Другой способ отыскания собственных значений и собственных элементов

§ 2. Операторы с симметричным ядром
97. Теоремы Гильберта и Шмидта
98. Теорема Мерсера

§ 3. Приложения к задаче о колебаниях струны и к почти периодическим функциям
99. Задача о колебаниях струны. Пространства D и Н
100. Задача о колебаниях струны. Собственные колебания
101. Пространство почти периодических функций
102. Доказательство основной теоремы о почти периодических функциях
103. Изометричные операторы в конечномерном пространстве

Глава VII. Ограниченные симметричные, унитарные и нормальные операторы в гильбертовом пространстве

§ 1. Симметричные операторы
104. Некоторые основные свойства
105. Проекционные операторы
106. Функции ограниченного симметричного оператора
107. Спектральное разложение ограниченного симметричного оператора
108. Положительная и отрицательная части симметричного оператора. Другой вывод спектрального разложения

§ 2. Унитарные и нормальные операторы
109. Унитарные операторы
110. Нормальные операторы. Представление их в виде произведений
111. Спектральное разложение нормальных операторов. Функции нескольких операторов

§ 3. Унитарные операторы в пространстве L²
112. Теорема Бохнера
113. Трансформации Фурье—Планшереля и Ватсона

Глава VIII. Неограниченные лниейиые операторы в гильбертовой пространстве

§ 1. Обобщение понятия линейного оператора
114. Теорема Хеллингера и Теплица. Общее понятие линейного оператора
115. Сопряженные операторы
116. Перестановочность. Приводимость
117. График оператора
118. Операторы B = (I + T*T)^-2 и С = T(I + T*T)^-2

§ 2. Самосопряженные операторы. Спектральное разложение
119. Симметричные и самосопряженные операторы. Определения и примеры
120. Спектральное разложение самосопряженного оператора
121. Метод Неймана. Преобразования Кэли
122. Полуограниченные сопряженные операторы

§ 3. Расширения симметричных операторов
123. Преобразования Кэли. Индексы дефекта
124. Полуограниченные симметричные операторы. Метод Фридрихса
125. Метод Крейна

Глава IX. Самосопряженные операторы. Операторное исчисление, спектры, возмущения

§ 1. Операторное исчисление
126. Ограниченные функции
127. Неограниченные функции. Определения
128. Неограниченные функции. Правила действий
129. Характеристическое свойство функций самосопряженного оператора
130. Конечные и счетные множества перестановочных самосопряженных операторов
131. Произвольные множества перестановочных самосопряженных операторов

§ 2. Спектр самосопряженного оператора и его возмущения
132. Спектр самосопряженного оператора. Разложение, соответствующее точечному спектру и непрерывному спектру
133. Предельный спектр
134. Возмущение спектра, вызванное вполне непрерывным слагаемым
135. Непрерывные возмущения
136. Аналитические возмущения

Глава X. Группы и полугруппы операторов

§ 1. Унитарные операторы
137. Теорема Стоуна
138. Доказательство, основанное на теореме Бохнера
139. Некоторые применения теоремы Стоуна
140. Унитарные представления более общих групп

§ 2. Неунитарные операторы
141. Группы и полугруппы самосопряженных операторов
142. Инфиннтезимальный производящий оператор полугруппы опеаторов общего вида
143. Показательные формулы

§ 3. Эргодические теоремы
144. Первоначальные методы
145. Методы, основанные на свойствах выпуклости
146. Полугруппы неперестановочных сжатий

Глава XI. Спектральные теории общих линейных операторов

§ 1. Применение методов теории функций
147. Спектр. Криволинейные интегралы
148. Теорема о разложении
149. Спектр и нормы степеней оператора
150. Применение к абсолютно сходящимся тригонометрическим рядам
151. Начала операторного исчисления
152. Два примера

§ 2. Теория спектральных множеств по Нейману
153. Предварительные замечания
154. Спектральные множества
155. Характеристика симметричных, унитарных н нормальных операторов в терминах спектральных множеств