Попробуем рассмотреть материальную точку как предел при уменьшении размеров идеально жесткого тела. При этом можно придти к объекту, отличающемуся от обычной материальной точки, если задуматься над вопросом, куда при уменьшении размеров тела деваются три вращательные степени свободы. Анализируя судьбу исчезающих степеней свободы, можно отчетливо выявить разницу между этими двумя подходами. Дело здесь в способе перехода к пределу.
Рассмотрим момент количества движения, который приобрел особую значимость после создания квантовой механики, в связи с понятием спина (см. примеч. 16). Спин равен целому или полуцелому числу, умноженному на h/2p, где h — постоянная Планка. Момент количества движения играет большую роль при рассмотрении систем материальных точек (в частности, идеально жесткого тела). Наличие момента количества движения, например, у шара означает, что шар вращается вокруг некоторой оси (см. примеч. 17). Обозначив r, L, m и v радиус, момент количества движения, массу и скорость, напишем L=mvr. Угловая скорость вращающегося твердого тела w=v/r. Так как L=Iw, где I=mr2, то L=mr2w). Что мы получим в пределе, при уменьшении обеих частей этого равенства? Возможны разные варианты. Если r, уменьшаясь, приближается к нулю, то L при этом тоже стремится к нулю, и вращение исчезает. Но угловая скорость w, вообще говоря, возрастает при уменьшении r. По какому закону стремится w к бесконечности? Если v ограничено, то L стремится к 0). Даже при увеличении v может оказаться, что произведение mr2w, выражающее момент количества движения, в пределе обращается в нуль. Это один из вариантов решения нашей задачи.
В квантовой механике электрон имеет спин (см. примеч. 18), и тем не менее его считают точечной частицей. Думаю, что 99 человек из 100 не ощутят здесь противоречия. Элегантный вывод уравнения Дирака не оставляет места для сомнений. Едва ли один человек из сотни задумается, нет ли связи между результатом Дирака и классической задачей о вращении тела. Конечно, такой связи может и не быть — ведь квантовая частица коренным образом отличается от классической. Говоря об этой возможности, я хотел лишь подчеркнуть сложность понятия материальной точки и то обстоятельство, что с ним могут быть связаны очень каверзные вопросы.
Заниматься такими проблемами, особенно при полном отсутствии экспериментов (смех в зале) — дело ужасно неблагодарное. Я лично ломал над этим голову с юных лет. Размышляя о подобных вещах, невозможно не устремиться к квантовой механике и теории относительности (смех). Не знаю, занимался ли я этим очень энергично, или «по принципу наименьшего действия». Скорее всего, все-таки, кое-как, ибо на переднем крае науки за это время были совершены великие дела.
Профессор университета обязан читать лекции. Правда, свое сегодняшнее выступление я бы лекцией не назвал, скорее это вольная беседа. Итак, профессор должен читать лекции. Начинаются они с механики, т. е. с ньютоновой механики, о которой мы сегодня и говорим. Если их строить в соответствии с учебниками, то придется говорить только об упругих телах да о жидкостях.
В ньютоновых «Началах» многое удивляет. Это и естественно. При изучении механики мы почти не тратим на нее своих душевных сил в отличие от создателей этой науки. Вот, скажем, при въезде в Токио видишь высокие, в несколько десятков этажей, здания. Теперь их конструкции стали экономичнее, а первые строители таких зданий создавали чудовищно крепкие сооружения. Ведь это же не просто — добиться, чтобы здание не рухнуло во время постройки (смех). Хорошо быть спокойным тому, кто видит готовую, зарекомендовавшую себя работу, а первопроходец не может не беспокоиться. Ньютона терзали самые разные тревоги. Сомнения его были столь велики, что он не упомянул ни о материальной точке, ни о твердом теле.