Д. П. Желобенко
Компактные группы Ли и их представления

Введение

Глава I. Топологические группы. Группы Ли

§ 1. Определение группы

§ 2. Топологические группы

§ 3. Параметрические группы и группы Ли

§ 4. Теория Ли

§ 5. Локально изоморфные группы Ли

§ 6. Инвариантные формы на группе Ли

§ 7. Метрика. Мера Хаара

Глава II. Линейные группы

§ 8. Полная линейная группа. Экспоненциал

§ 9. Полная линейная группа. Основные разложения

§ 10. Линейные группы, связанные с формами второго порядка

§ 11. Кватернионы

§ 12. Вопросы односвязности

§ 13. Вопросы комплексификации

§ 14. Преобразования в классе тензоров

Глава Ш. Основные задачи теории представлений

§ 15. Функции на однородном пространстве

§ 16. Терминология теории представлений

§ 17. Редукция основной проблемы

§ 18. Элементарные гармоники

§ 19. Алгебры и группы, связанные с уравнением

§ 20. Лемма Шура

§ 21. Теорема Бернсайда

§ 22. Групповые алгебры и их представления

§ 23. Формулировка основных задач

Введение

Глава IV. Компактные группы Ли. Глобальная теорема

§ 24. Определение компактной группы

§ 25. Формулировка глобальной теоремы

§ 26. Приём усреднения

§ 27. Свойство ортогональности

§ 28. Аппроксимационная лемма для линейной группы G

§ 29. Ряды Фурье на линейной группе G

§ 30. Завершение доказательства для линейной группы G

§ 31. Завершение доказательства в общем случае

§ 32. Гармонический анализ на однородном многообразии

§ 33. Характеры

§ 34. Теория представлений конечных групп

§ 35. Универсальность группы U(n)

Глава V. Инфинитезимальный метод в теории представлений

§ 36. Дифференциал представления

§ 37. Неприводимые представления группы SU(2)

§ 38. Матричные элементы группы SU(2)

§ 39. О некоторых группах, связанных с SU(2)

§ 40. О некоторых проблемах инфинитезимального метода

Глава VI. Аналитическое продолжение

§ 41. Общий принцип аналитического продолжения

§ 42. Надкомпактные группы Ли. «Унитарный трюк» Г. Вейля

§ 43. Бикомплексные группы и алгебры Ли

§ 44. Комплексная оболочка U(n). Веса и корни

§ 45. Модель неприводимых представлений группы SU(3)

Глава VII. Неприводимые представления группы U(n)

§ 46. Существование старшего веса

§ 47. Единственность старшего вектора

§ 48. Различные модели d(α)

§ 49. Индуктивные веса

§ 50. Произведение Юнга

Глава VIII. Тензоры и диаграммы Юнга

§ 51. Описание Z-инвариантов

§ 52. Диаграммы Юнга

§ 53. Симметризаторы Юнга

§ 54. Характеристика неприводимых тензоров в терминах симметрии

§ 55. Принцип взаимности

§ 56. Реализация d(α) на прямоугольных матрицах

§ 57. Гармонический осциллятор

Глава IX. Операторы Казимира

§ 58. Универсальная обертывающая алгебра

§ 59. Операторы Казимира для группы GL(n)

§ 60. Собственные значения операторов С_k

§ 61. Разделение точек спектра и алгебраическое доказательство полной приводимости

§ 62. Полное описание центра для группы GL(n)

§ 63. Правило циклов

Глава X. Индикаторные системы и базис Гельфанда—Цейтлина

§ 64. Операторы левого сдвига на группе Z

§ 65. Индикаторные системы

§ 66. Алгебра Z-мультипликаторов и задача о сужении с группы на подгруппу

§ 67. Базис Гельфанда—Цейтлина

§ 68. Понижающие операторы в инфинитезимальной форме

§ 69. Нормировка базисных векторов

§ 70. Дифференциал d(α)

§ 71. Матричные элементы d(α)

Глава XI. Характеры

§ 72. Инвариантная мера на группе U(n)

§ 73. Примитивные характеры U(n)

§ 74. Весовая диаграмма d(α)

§ 75. Вторая формула Вейля

§ 76. Заключительные замечания

Глава XII. Тензорное произведение двух неприводимых представлений группы U(n)

§ 77. Инвариантная мера на группе U(n)

§ 78. Примитивные характеры U(n)

§ 79. Частные случаи

§ 80. Детерминанты Вейля

Глава ХIII. Основные типы алгебр и групп Ли

§ 81. Присоединенное представление алгебры Ли

§ 82. Идеал и нормальный делитель

§ 83. Основные типы алгебр Ли

§ 84. Разрешимые алгебры Ли

§ 85. Нильпотентные алгебры Ли

§ 86. Разложения Фиттинга

§ 87. Билинейная форма Киллинга—Картана

§ 88. Основные типы групп Ли

§ 89. Теорема Леви—Мальцева

Глава XIV. Классификация компактных и редуктивных алгебр Ли

§ 90. Компактные алгебры Ли

§ 91. Подалгебры Картана

§ 92. Базис Картана—Вейля

§ 93. Простые корни

§ 94. Структурная матрица Картана

§ 95. Простые комплексные алгебры Ли

§ 96. Вещественные формы полупростых комплексных алгебр Ли

§ 97. Завершение классификации

Глава XV. Компактные группы Ли в целом

§ 98. Инвариантные полиномы

§ 99. Алгебраические группы

§ 100. Разложение Гаусса

§ 101. Разложение Ивасавы

§ 102. Максимальные торы

§ 103. Фундаментальная группа и центр

§ 104. Теорема о линейности полупростой комплексной группы Ли

§ 105. Группа Вейля

§ 106. Существование комплексной оболочки

§ 107. Некоторые дополнительные результаты

Глава XVI. Описание неприводимых конечномерных представлений

§ 108. Основная теорема

§ 109. Старшие веса и сигнатуры

§ 100. Нормально вложенные подгруппы

§ 111. Полиномы на группе Z

§ 112. Завершение классификации

§ 113. Симплектическая группа

§ 114. Ортогональная группа

§ 115. Теория спиноров

§ 116. Вещественные формы

§ 117. Произвольные связные группы Ли

§ 118. Несколько замечаний

Глава XVII. Инфинитезимальная теория (характеры, веса, операторы Казимира)

§ 119. Разложение Картана—Вейля в универсальной обертывающей алгебре

§ 120. Представления со старшим вектором

§ 121. Классификация конечномерных неприводимых представлений алгебры X

§ 122. Формула Фрейденталя

§ 123. Формула Вейля для характеров

§ 124. Следствия из формулы Вейля

§ 125. Полиномы на картановской подалгебре, инвариантные относительно группы Вейля

§ 126. Операторы Казимира

§ 127. О вычислении собственных значений операторов Казимира

Глава XVIII. Некоторые задачи спектрального анализа конечномерных представлений

§ 128. Общая схема сужения с группы на подгруппу

§ 129. Сужение SO(n)/SO(n—1

§ 130. Сужение Sp(n)/Sp(n—2)

§ 131. Тензорное произведение двух неприводимых представлений

§ 132. Сужения SU(m+n)/SU(m) X SU(n) и SU(mn)/SU(m) X SU(n)

§ 133. Сужение SU(n)/SO(n)

§ 134. Сферические функции в n-мерном евклидовом пространстве

§ 135. О представлениях группы движений n-мерного евклидова пространства

Добавление I. О бесконечномерных представлениях полупростой комплексной группы Ли

§ 1. Элементарные представления

§ 2. Пространство элементарного представления

§ 3. Дифференциал элементарного представления

§ 4. Вопросы неприводимости

§ 5. Аналог формулы Планшереля

§ 6. Теоремы типа Пэли—Винера

§ 7. Минимальные представления

§ 8. Классификация неприводимых представлений

§ 9. О полуприводимых представлениях

Добавление II. Элементы обшей теории унитарных представлений локально компактных групп

§ 1. Коммутативные группы

§ 2. Теорема Стоуна—фон Неймана

§ 3. Индуцированные представления

§ 4. Полупрямые произведения

§ 5. Нильпотентные группы Ли

§ 6. Разложение унитарных представлений на неприводимые

Добавление III. Унитарная симметрия в классе элементарных частиц

§ 1. Инвариантность и законы сохранения

§ 2. Элементарные частицы. Изотопический спин

§ 3. Унитарная симметрия в классе адронов

§ 4. Открытие Ω-частицы

§ 5. Некоторые проблемы

Литература

Предметный указатель