Уже давно механики поставили себе задачу, найти общие начала, при посредстве которых было бы возможно разрешение всех механических проблем чисто аналитически, с помощью одних вычислительных операций. Существование таких начал было уже доказано великими математиками предшествующих периодов, но тогда же была выяснена непрочность обоснования всех этих начал, и притом остались еще нерешенными споры, какие из начал следует считать наиболее общими и вместе с тем наиболее удобными для разрешения этой задачи. И вот Лагранж применил всю силу своего мощного гения, чтобы доказать, что единый механический принцип, а именно принцип виртуальных скоростей обнимает собою все прочие начала и достаточен для решения всех проблем механики. Сочинение, в котором он изложил указанную идею, носит заглавие «Mécanique analytique» («Аналитическая механика»). Оно появилось в свет впервые в Париже в 1788 г., а вторым значительно дополненным изданием в 1811—1815 гг. Выдержанный строго аналитический характер этого сочинения придал самой науке, теоретической механике, определенный отпечаток. Эта работа почти вытеснила из механики синтетический метод Ньютона, и лишь спустя много лет после Лагранжа наряду с его аналитическим методам здесь снова начал завоевывать себе место и геометрически-синтетический метод.
В предисловии к названному сочинению ясно очерчена его сущность и характер. «Мы имеем уже много учебников механики, но план настоящей работы совершенно нов. Я поставил себе задачей свести теорию этой науки и решение всех ее задач к простым формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения любой задачи... Сочинение это принесет, кроме того, пользу и в другом отношении: оно объединит и изложит с одной общей точки зрения различные механические начала, найденные до сих пор с целью облегчить решение механических задач, приведя их в связь, показав их взаимную зависимость и дав возможность судить об их правильности и значении. В настоящей работе мет никаких чертежей. Примененные мною здесь методы не требуют ни построений, ни геометрических и механических умозаключений, представляя собою лишь алгебраические операции, правильно и ровно выдержанные до конца».
Все рассматриваемое сочинение распадается на две части, статическую и динамическую, в которых отделы, за единственным исключением, строго соответствуют друг другу. Первые отделы обеих частей дают исторический обзор развития начал механики до Лагранжа. В статической части начало виртуальных скоростей определяется следующим образом: «Если какая-либо система, состоящая из любого числа тел или точек и подверженная действию каких-либо сил тяги или давления, находится в равновесии, и системе этой сообщается какое-либо незначительное движение, вследствие которого каждая точка пробегает бесконечно малое пространство (виртуальная скорость), то сумма произведений из сил, приложенных ко всякой данной точке, на величину перемещения точек в направлении силы всегда равна нулю; при этом предполагается, что перемещения, происходящие в направлении силы, имеют положительный знак, а в обратном — отрицательный». Во втором отделе первой части это положение выражается формулой
и рассматривается как основа всей статики. В соответствующем отделе динамики выводится основное уравнение динамики, которое получается путем приравнивания суммы виртуальных моментов действующих сил сумме виртуальных моментов результирующих движений. Если в этом уравнении все последние члены перенести из второй части в первую, переменив знаки на обратные, то эта формула выражает собою начало д'Аламбера, которому и Лагранж придает значение общего приема сведения динамических задач на статические. В третьих отделах обеих частей выводятся общие свойства равновесия и движения. В статической части из основного уравнения выводится шесть уравнений, которыми определяется невозможность как перемещений, так и вращений тела. В полном соответствии с этим, в динамической части даны три уравнения, выражающие принцип площадей или моментов вращения. Кроме того, здесь выводятся принципы живой силы и наименьшего действия, а также исследуются движения тел по отношению к их главным осям.
Четвертые отделы переносят уравнения равновесия и движения на тела, движения которых не свободны, но подчинены известным ограничениям. Для этой цели Лагранж придумывает свой знаменитый метод неопределенных множителей. Он умножает вариации всех уравнений, которым должно удовлетворять движущееся тело, на неопределенные множители, прибавляет просто полученные произведения к своим уравнениям в качестве членов и затем трактует эти уравнения, как если бы они представляли собою уравнения движения совершенно свободного тела. Пятые отделы заключают в себе применение общих формул к частным случаям. В статической части рассматривается равновесие одной точки, равновесие систем точек, члены которых связаны нитями или стержнями, равновесие нити и, наконец, равновесие твердого тела измеримой величины. Соответствующий динамический отдел исследует движение тела, производящего бесконечно малые колебания, движения свободных точек под влиянием притягательных сил и, наконец, движения точек, подчиненных статическим условиям. Шестому динамическому отделу, посвященному вращению тел, конечно, нет соответствующего в статике.
Три последние отдела обеих частей посвящены механике жидкостей; в первых излагается опять-таки историческое развитие соответствующих начал. В следующих отделах доказано, что общие основные уравнения статики и динамики прямо приложимы и к механике неупругих жидкостей, если прибавить к ним член, соответствующий условию несжимаемости жидкостей. Это условие будет dx dy dz =const, оно выражает, что каждая частица жидкости занимает постоянный объем. Для механики упругих жидкостей в последних отделах выведены основные уравнения, совершенно аналогичные соответствующим уравнениям предшествующих отделов. Упругие жидкости отличаются от неупругих лишь тем, что в первых объемы элементов непостоянны и изменяются соответственно коэффициентам упругости. Таким образом основное уравнение гидромеханики переходит в соответствующее уравнение аэромеханики, если вместо члена, выражающего постоянство объема элемента, поставить член, выражающий тенденцию к изменению этого объема в соответствии с упругостью.
«Mécanique analytique» Лагранжа представляет собою столь законченное произведение, столь строго систематически изложенное, что идти дальше принципиально по проложенному им пути представляется почти невозможным. Механика представляется как бы завершенной этим творением. Там, где решение задачи не удается, трудности лежат на стороне математики, которая оказывается не в состоянии применить заданные общие формулы к соответствующим частным случаям. То, что Лагранж обещал в предисловии, — свести все механические трудности на чисто математические, — было им выполнено изумительным образом. Но, с другой стороны, конечно, систематическая завершенность этого произведения обусловливает его односторонность и, как следствие этого, известное несовершенство. Полностью исключая геометрически-синтетический метод, это сочинение при разрешении многих проблем бывает вынуждено прибегать к окольным, зачастую не относящимся к сути дела, выводам, между тем, как синтетический метод мог бы привести прямо и просто к цели. Очень характерно в этом отношении то обстоятельство, что синтетически-геометрический метод, в течение некоторого времени казавшийся совершенно изгнанным из области математики, снова получил в ней право гражданства именно в связи с применением его к вопросам механики.
В работе Лагранжа была и другая в принципиальном смысле теневая сторона. Старые трудности теоретико-познавательного характера, которые уже давно подвергли сомнению все прежние механические начала, не пощадили и основ Mécanique analytique. Началу виртуальных скоростей, как и всем вообще основным физическим положениям, не удалось найти для себя твердой опоры: им приходилось колебаться между аксиомой, теоремой и опытным фактом, этими тремя философскими устоями познания. В первом издании Mécanique analytique Лагранж описывает историю начала виртуальных скоростей, показывая, как постепенно из законов рычага, закона сложения движений и т. д. развилось и достигло своего завершения это начало. Однако это развитие не соответствует идее работы, согласно которой указанное начало, наоборот, провозглашается основой всех прочих механических начал. Поэтому уже в 1796 г. Лагранж пытался вывести принцип виртуальных скоростей, заменив все силы, действующие на элементы тела, натяжением каната, обвивающего все точки один или несколько раз, и затем приравняв нулю алгебраическую сумму всех удлинений и укорочений отдельных частей каната при виртуальном перемещении системы. При этом для наглядности он представлял себе каждую точку связанной с неподвижными блоками, вследствие чего вся система получила сходство с очень сложным полиспастом. Однако в 1813 г., во 2-м издании своей «Théorie des fonctions» (Chp. 5, Art. 30) он отказался от этого построения, представляя себе блоки бесконечно малыми или скорее считая, что нити движутся вокруг элементов тела без трения.
Однако и этим для принципа Лагранжа еще не было обеспечено абсолютно надежное существование. Дюринг в своей «Geschichte der mechanischen Principien» («История механических начал», 2-е изд., стр. 317—319) обращает внимание на то обстоятельство, что и в приведенном доказательстве все-таки предполагается сведение силы на определенное направление движения. С другой стороны, Якоби в своих лекциях, изданных Клебшем, не приводя никаких доказательств, говорит: «По мнению многих математиков, и между прочим Гаусса, положение, о котором идет речь, следует считать началом, следовательно, от обоснования его математическим путем следует отказаться. Таким образом, настоящий теоретико-познавательный вопрос, как и многие другие ему подобные, остался открытым.
Развитие всей аналитической механики мы закончим сообщением о некоторых отдельных механических или соприкасающихся с механикой фактах.
Как ни неблагоприятны были для процветания наук времена французской революции и последовавших за нею больших наполеоновских войн, однако и они ознаменовались одним очень важным достижением, которое при других обстоятельствах, может быть, никогда бы не было осуществлено или для осуществления которого потребовались бы долгие годы: речь идет о разработке и проведении в жизнь единой планомерной системы единиц измерений. В 1788 и 1789 гг. многие французские города обратились к правительству через своих представителей с просьбой ввести в стране общую меру, чтобы покончить с многочисленными злоупотреблениями и обмериваниями, имевшими место на почве отсутствия в стране единой системы мер. В заседании Академии наук 14 апреля 1790 г. Бриссон предложил построить «новую систему мер на какой-нибудь естественной длине, которую можно было бы всегда заново воспроизвести. Тогда Талейран (в то время еще Отенский епископ) внес вопрос в Национальное собрание, и здесь 8 мая 1790 г. было решено принять в качестве неизменной основы системы мер длину секундного маятника под 45° широты. В качестве единицы веса Бриссон предложил принять вес определенного объема золота, серебра или дистиллированной воды; впоследствии он отдал предпочтение последней. Однако комиссия Академии, состоявшая из Борда, Лагранжа, Лапласа, Монжа и Кондорсе, высказалась против использования длины маятника и рекомендовала согласно предложению, сделанному в том же году инженером-географом Бонном, принять в качестве единицы длины какую-либо часть экватора или меридиана. Длину же маятника, как величину, зависимую от двух разнородных элементов, тяжести и времени, разделение которых, кроме того, еще и произвольно, они нашли неудобной. Вследствие этого 30 марта 1791 г. Национальное собрание решило принять в качестве единицы меры одну десятимиллионную часть земного меридиана. Мешен и Деламбр тотчас же приступили к проведению необходимых для данной цели градусных измерений. В 1792 г., вследствие упразднения Академии, эти работы временно приостановились, но назначенная вновь для этой цели комиссия (состоявшая из Бертолле, Борда, Бриссона, Кулона, Деламбра, Го, Лагранжа, Лапласа, Мешена, Монжа, Прони и Вандермонда) продолжила эти работы и закончила их в течение нескольких лет. Законом 18 жерминаля III (года (7 апреля 1795 г.) был установлен на основании прежних измерений предварительный, временный метр, соответствовавший длине 3 футов 11,4421 париж. линий. После окончания новых измерений под наблюдением особой комиссии с Лапласом во главе были изготовлены нормальные образцы мер и 4 мессидора VII года (23 июня 1799 г.) сданы в архив республики. 6 мессидора VIII года (25 июня 1800 г.) был издан закон об окончательном введении новых мер. Метр оказался равным 3 футам 11,2961 париж. линий. К сожалению, впоследствии была обнаружена ошибка в определении дуги между Монжу и Форментерой, на котором было основано определение длины метра. Пюиссан исправил между 1836 и 1840 гг. все подобные ошибки и определил длину метра в 3 фута 11,375 париж. линий. Бессель, показал, что длина квадранта меридиана в новой мере вместо 10 000 000 составляет 10 000 856 м. Комиссия Академии, вновь обсудив тогда вопрос об основной единице меры, пришла к выводу, что необходимо остаться при метре VIII года, так как по избранному пути никогда не удастся придти к совершенно точному установлению естественной меры.
Разносторонний интерес для астрономов, географов и физиков представляли начатые в то время опыты определения плотности Земли. Так как сжатие Земли, выведенное теоретически из скорости ее вращения в предположении равномерной ее плотности, не согласовалось ни с результатами градусных измерений, ни с наблюдениями над маятником под экватором и близ полюсов, то пришли к совершенно естественному предположению, что внутренние слои Земли плотнее наружных. Тем не менее, несмотря на все усилия крупных математиков, определить эту плотность путем исчисления не удавалось. Впервые, путем наблюдений, удалось получить до известной степени удовлетворительные результаты Маскелину и Хуттону. По предложению первого из них они наблюдали отклонение отвеса по обе стороны горной цепи Shehallien в Пертшире и в течение 1774, 1775 и 1776 гг. вычислили отсюда отношение плоскостей Земли и горы, которое оказалось равным 17804:9938. Сначала Хуттон принял плотность горы равной 21/2, но потом, по указаниям Фортингаля, равной 3. Отсюда для плотности Земли получились значения 4,481 или 5,377. Впоследствии он принял среднюю из этих двух величин 4,929, считая ее наиболее верной. Однако способ получения этих чисел заключал в себе так много источников ошибок, что результаты Генри Кавендиша, полученные иным путем и давшие числа, хотя и отличные от прежних, но не противоречащие им, были встречены очень сочувственно. Он определил в 1798 г. при помощи крутильных весов (которые, по-видимому, были придуманы еще до Кулона в 1768 г. Джоном Мичеллем) удельный вес Земли в 5,48. Коромысло весов, подвешенное на посеребренной медной проволоке, имело 73,30 дюйма длины и весило 2400 гран. На концах его находилось по маленькому свинцовому шару (2 дюйма диаметром), а против них, на расстоянии 8,85 дюйма, по большому свинцовому шару (8 дюймов в диаметре). С 5 августа 1797 г. по 23 мая 1798 г. Кавендиш произвел в общей сложности 17 опытов и из отклонений, производимых большими шарами, а равно как из скорости колебаний коромысла, вычислил приведенную выше величину плотности Земли. Причину значительного расхождения последней с числом Хуттона пытались выяснить как Кавендиш, так и Хуттон, но безуспешно. Но так как в вычислениях Кавендиша оказалось довольно много ошибок, а, с другой стороны, Лапласу, в конце концов, удалось из сжатия Земли от изменения силы тяжести вычислить для плотности земного ядра число 4,761, более близкое к числу Хуттона, то в 1811 г., после проверки хуттоновских измерений Плейфером, решили остановиться на числе 4,713, как наиболее вероятном для плотности Земли.
После довольно долгого перерыва были также снова предприняты опыты над свободным падением тел. В 1784 г. Дж. Атвуд (1745 — 1807) описал свою машину в сочинении «On the rectilinear motion and rotation of bodies» («О прямолинейном движении и вращении тел»). С 1789 г. Джиованни Баттиста Гульемини (умер в 1817 г.) начал работать над отклонением падающих тел от отвесной линии, которое предсказал еще Ньютон, но которое до того времени еще никем не было на опыте установлено. Он исчислил тогда для тела, падающего с высоты церкви Св. Петра в Риме (250 футов), величину восточного отклонения, обусловленного вращением Земли, в 1/2 дюйма от отвесной длины. Затем в 1790 и в 1791 гг. он в Болонье наблюдал падение шаров с той самой башни (degli Asinelli), на которой производили опыты еще Риччиоли и Гримальди, и пришел к результатам, согласным со своими расчетами. К удивлению, он нашел даже больше того, чем ожидал, а именно, наряду с восточным, он констатировал еще и южное отклонение, правда, незначительное. Лапласу такое отклонение показалось теоретически невозможным, и он отсюда сделал только тот вывод, что все эти опыты совершенно неточны и что поэтому они никак не могут иметь доказательной силы для вращения Земли вокруг оси. Бенценбер, наоборот, полагал, что опыты Гульемини могут все-таки оказаться пригодными, что южное отклонение могло произойти от того, что Гульемини определил отвесное направление с башни лишь спустя шесть месяцев после опыта, а за это время башня могла на несколько линий осесть. Вследствие этого ом решил повторить эти опыты, но только с возможно большими предосторожностями и, прежде всего внутри такого здания, где всякие внешние влияния будут уменьшены до минимума. Наиболее соответствующей его целям показалась ему колокольня Св. Михаила в Гамбурге, в пролетах которой полы могли быть разобраны для пропускания падающих тел. Здесь он в 1802 г. произвел 31 опыт с шарами из свинца или из сплава олова, цинка и свинца, при высоте падения в 235 парижских футов. В соответствии с теорией здесь получилось восточное отклонение в среднем в 3,99 или по вычислению Гаусса в 3,95 париж. линий. Однако и при его опытах снова выявилось зловещее южное отклонение, причем величина его оказалась на 1,5111 париж. линий больше возможного предела ошибок. К подобным же результатам привели опыты, которые провел Бенценберг в следующем году в каменноугольной шахте в Шлебуше. На основании своих исследований он пришел к заключению, что южное отклонение могло произойти от какой-нибудь естественной причины, не принятой в рас чёт теоретических выкладках. Другие же, как, например, астроном Ольберс, продолжали объяснять это явление побочными обстоятельствами, не зависящими от тяжести и вращательного движения Земли, между прочим, может быть, неполным устранением воздушных токов. К его мнению примкнуло большинство физиков, хотя, конечно, должно было все-таки показаться странным, что воздушные токи и другие случайные побочные обстоятельства и в Болонье, и в Гамбурге, и в Шлебуше всегда отклоняли падающие тела от отвесной линии только в южном направлении.
К этому же времени относится изобретение нескольких механических приборов, представляющих теоретический или технический интерес. Мостовые весы получили свое нынешнее устройство в 1800 г. благодаря страсбургскому механику Швильге (построившему новые часы для страсбургского собора). До того времени с давних пор пользовались под названием шведских весов системой рычагов, позволявших взвешивать большие грузы с помощью малых гирь.
Жозеф Мишель Монтольфье построил в 1796 г. для снабжения водой своей писчебумажной фабрики в Вуароне машину, названную им Bélier hydraulique, знакомую нам в существенно схожих чертах под названием гидравлического тарана (водоподъемная машина). Эта машина вскоре возбудила большой интерес в технических и научных кругах. Монгольфье получил в 1802 г. привилегию и золотую медаль. Яблоновское общество, Батавское общество в Ротердаме и Берлинская академия назначили премии за теоретическую разработку гидравлического тарана, и в течение первого десятилетия нашего века появился ряд научных исследований по этому вопросу. И все-таки, несмотря на это, данная машина не приобрела широкого технического применения, главным образом, потому, что расчет последней и в особенности наиболее важного клапана в приводящей трубе, т. е. такой конструкции, которая обеспечила бы безукоризненную правильность действия машины, оказался слишком трудным.
Противоположная участь постигла изобретение Джозефа Брама (лондонского механика и инженера 1749—1814 гг.), получившего в марте 1796 г. патент на носящий его имя гидравлический пресс. До 1820 г. устройство последнего было еще мало известно в Англии и Франции; в Германии же первое точное описание его было дано в 1818 г. Гильбертом («Gilbert's Ann.», LX, стр. 1). Но затем распространение этой машины пошло быстрыми шагами. Пьер-Франсуа Реаль изобрел, по-видимому, еще в 1806 г. специальный экстракт-пресс для приготовления особенно сгущенного кофейного экстракта; этот пресс стал известен только с 1817 г. благодаря химику Деберейнеру, который дал о нем очень хороший отзыв.
В заключение нам следует еще упомянуть о теории волосности, которая в начале нашего столетия достигла известной законченности благодаря Лапласу, после того как в течение уже более полутора столетий большинство физиков работало над нею почти безуспешно, Во втором томе настоящей работы мы видели, что в начале XVII века физики объясняли поднятие жидкостей в тонких трубках притяжением жидкости стенками трубки и таким образом удачно исключали из этого явления давление воздуха. Но от этого отрицательного вывода теория волосности мало выиграла, так как, несмотря на все старания, не удавалось установить правильное количественное соотношение между причиной и ее действием. Карре предположил около 1705 г., что водяные частицы теряют вследствие притяжения стенок трубок весь свой вес; поэтому количество жидкости, находящееся в трубке, должно замещаться другим в точности равным количеством, и, следовательно, высота поднятия должна быть пропорциональна длине погруженной трубки. Жюрен и Бюльфингер защищали подобные же взгляды несколько десятков лет позднее. Гамильтон приписывал притяжение одному только нижнему краю трубки на там основании, что капля в горизонтально лежащей трубке свободно двигается в обе стороны, останавливаясь только на краю трубки. По мнению Мушенбрека явление волосности, по-видимому, зависит: 1) от притяжения стенок внутренней поверхности трубки; 2) от притяжения мельчайших частей самой жидкости; 3) от веса жидкости в трубке и от высоты последней. Тем не менее, он не решался ближе войти в теоретическое определение данного явления, не будучи достаточно знаком с природой этих притягательных сил. Мушенбрек приводит лишь таблицу высот поднятия различных жидкостей в трубках из разного сорта стекла. Первую попытку аналитического вывода законов волосности мы находим у Клеро в его работе «De la figure de la Terre» (Paris 1743) («О фигуре Земли»). Но и он исходит еще из предположения, что притяжение стенок распространяется до оси трубок. Новейшим представлением, согласно которому молекулярное притяжение обнаруживается лишь на бесконечно малых расстояниях, воспользовался впервые Лаплас в своей теории волосности, который, таким образом, согласовал результаты математических расчетов с данными опыта. Лаплас опубликовал относящиеся к данному вопросу работы в двух небольших монографиях «Théorie de l'action capillaires» (Paris 1806) («Теория капиллярного действия») и «Supplement a la. théorie de l'action capillaire» (Paris 1807) («Дополнение к теории капиллярного действия»), за которыми последовало подробное изложение этого вопроса в различных периодических изданиях. С его точки зрения, явления волосности обусловливаются взаимным сцеплением частиц жидкости и прилипанием этих частиц к частицам твердых стенок трубки, причем, однако, эти обе силы проявляются заметным образом лишь при неизмеримо малых расстояниях между частицами. Чем больше сила прилипания по сравнению с силой сцепления, тем выше поднимается слой, соприкасающийся с краями трубки над средним уровнем. Об отношении между сцеплением и прилипанием можно судить по очертанию поверхности жидкости или, точнее, по углу, образуемому поверхностью жидкости с поверхностью стенки, т. е. по так называемому краевому углу, и обратно. Таким образом, форма поверхности или краевой угол становятся мерилом высоты поднятия и при их помощи вместо прежних неосязаемых молекулярных сил, можно математическим путем исследовать явления волосности. И действительно, Лапласу было нетрудно, исходя из принципа постоянства краевого угла, вывести основной закон явлений волосности, согласно которому высоты поднятия для одних и тех же веществ должны быть обратно пропорциональны диаметрам трубок, и тем самым сообщить этому отделу физики ту основу, от которой ей уже не приходилось отступать при своем дальнейшем развитии.