Глава VII. Принцип соответствия

1. Трудность согласования квантовой теории и теории излучения

Электромагнитная теория, дополненная теорией электронов Лоренца, дает совершенно ясную и точную картину излучения, испускаемого системой движущихся зарядов. Если заданы структура и закон движения системы электрических зарядов, то можно точно вычислить частоты, интенсивности и поляризацию излучения. Для этого поступают следующим образом. Во-первых, в прямоугольной системе координат вычисляют компоненты вектора электрического момента системы, который в каждый момент времени определяется положением всех зарядов системы. Эти компоненты зависят от времени и по общим математическим теоремам о разложении в ряд или интеграл Фурье могут быть представлены в виде суммы (конечной или бесконечной), каждый член которой гармонически зависит от времени. Согласно электромагнитной теории система будет испускать излучение со всеми теми частотами, которые фигурируют в этом разложении Фурье. Кроме того, излучение одной из этих частот с электрическим вектором, параллельным одной из координатных осей, имеет интенсивность, которая определяется коэффициентом, соответствующим данной частоте в разложении Фурье, той компоненты электрического момента, которая параллельна рассматриваемой оси.

Этого достаточно, чтобы определить частоту, интенсивность и поляризацию излучения, испускаемого рассматриваемой системой.

Если электромагнитная теория Лоренца действительно применима к элементарным частицам электричества, то она должна позволить однозначно определить излучение, испускаемое атомом Резерфорда – Бора. Но, как мы уже видели, эта теория приводит к совершенно неправильным выводам. Действительно, поскольку атом должен все время терять энергию на излучение, электроны очень быстро упадут на ядро, а частота излучения будет непрерывно изменяться. Но тогда атом был бы нестабильным, и спектральные линии строго определенной частоты не могли бы существовать – абсурдный вывод.

Чтобы обойти эту основную трудность, Бор сделал предположение, что в стационарных состояниях атом не излучает. Это равносильно утверждению, что электромагнитную теорию излучения нельзя применять к электронам, движущимся по стабильным орбитам.

Порвав таким образом с электромагнитной теорией, квантовая теория атома оказалась совершенно не в состоянии объяснить свойства спектров излучения. Мы видели, каким образом Бору с помощью допущения, что каждый переход между квантовыми состояниями сопровождается испусканием кванта энергии излучения, удалось решить вопрос о частотах. Но это правило частот далеко не полностью описывает испускаемое излучение, оно ничего не говорит об интенсивности и поляризации. В 1916 г. Бор сумел отчасти восполнить этот недостаток, следуя очень странным и даже несколько непоследовательным путем. Этот путь состоял по существу в следующем: несмотря на неприменимость электромагнитной теории к внутриатомным явлениям, надо попытаться тем не менее установить определенное соответствие между квантовыми явлениями и формулами электродинамики с тем, чтобы понять, почему классическая электромагнитная теория дает прекрасное описание явлений большого масштаба. Таким образом, Бору удалось сформулировать удивительный принцип соответствия, сыгравший важную и благотворную роль в развитии квантовой теории.

Прежде чем перейти к рассмотрению принципа соответствия, мы должны строго очертить рамки той сложной задачи, решение которой пытался получить Бор. Необходимо ясно понимать, насколько различны представления о природе излучения классической теории, с одной стороны, и квантовой теории, с другой. Согласно классической теории движущийся в атоме электрон излучает целый набор частот. Классическое излучение, таким образом, происходит непрерывно и одновременно испускается свет разных частот. В квантовой теории, наоборот, атомный электрон, находящийся на стационарной орбите, не излучает. Когда же он перескакивает из одного состояния в другое, он испускает единственный квант монохроматического излучения: различные монохроматические излучения, испущенные группой атомов одного сорта (например, различные спектральные линии, испущенные одним элементом в газообразном состоянии), соответствуют, таким образом, переходам, которые происходят в разных атомах. Иными словами согласно квантовой теории, излучение спектральных линий какого-либо элемента есть процесс дискретный, происходящий в виде отдельных элементарных актов.

Пожалуй, трудно найти два других столь отличающихся друг от друга представления, как классическое и квантовое. Поэтому прежде всего следует спросить, можно ли вообще построить между ними какое-нибудь связующее звено.

Если мы подумаем, как установить соответствие между классической картиной спектрального излучения и столь не похожей на нее картиной, вытекающей из квантовых представлений, мы сразу же заметим, что это соответствие, если оно только возможно, может быть лишь статистическим. Действительно, соответствие с классической картиной нельзя, очевидно, установить иначе, как рассматривая одновременное испускание всех спектральных линий. Между тем с квантовой точки зрения испускание каждого кванта монохроматического излучения есть индивидуальный акт, и, чтобы получить одновременное испускание всех спектральных линий, нам придется рассмотреть ансамбль очень большого числа атомов одинаковой природы, ансамбль, в котором постоянно осуществляются индивидуальные переходы всех видов, приводящие к испусканию различных спектральных линий рассматриваемого элемента. Необходимое понятие об интенсивности различных линий можно также ввести в квантовую теорию, лишь рассматривая его статистически.

Квантовый атом, в котором происходит переход, испускает только один квант, единицу монохроматического излучения. Для такого индивидуального акта бессмысленно говорить об интенсивности излучения. Чтобы определить интенсивность, необходимо снова рассмотреть ансамбль, состоящий из большого числа одинаковых атомов. В таком ансамбле в секунду происходит большое число переходов всех видов. Рассматривая все переходы определенного вида и все кванты излучения одной и той же частоты, испускаемые при этих переходах, можно определить статистическое значение интенсивности как среднюю плотность этих квантов в пространстве. Эту интенсивность можно уже сравнивать с интенсивностью, вычисленной по классической теории.

Читатель, несомненно, начинает догадываться, как можно было бы установить требуемое соответствие. Рассмотрим, с одной стороны, ансамбль фиктивных атомов, подчиняющихся законам классической электромагнитной теории, а с другой – ансамбль реальных квантовых атомов. Попытаемся установить соотношение между частотами, интенсивностями и поляризацией излучения, испущенного каждым из этих двух ансамблей, таким образом, чтобы расчет спектра излучения первой системы хорошо известным методом классической электродинамики дал некоторые сведения об излучении второй системы, т.е. об излучении реальных атомов. A priori ясно, что найти такое соотношение, конечно, нелегко. Однако необычайно проницательный ум Бора помог ему отыскать в этой труднейшей задаче, если не окончательное и вполне определенное, то по крайней мере предварительное решение, которое оказалось чрезвычайно полезным и полным глубокого физического содержания.

2. Принцип соответствия Бора

Сравним набор большого числа фиктивных атомов, которые подчиняются классическим законам, с набором такого же числа реальных квантованных атомов. Если нам известно, как движутся электроны в атомах первого типа, то мы знаем, как вычислить частоты, интенсивности и поляризацию испускаемого излучения. Теперь, воспользовавшись этими результатами, попытаемся выяснить, каковы частоты, интенсивности и поляризация излучения, испускаемого реальными атомами. Если бы мы ничего не знали об этих последних, то не существовало бы никаких средств решения этой задачи. К счастью, нам известны значения частот, излучаемых квантованными атомами. Они даются правилом Бора.

Таким образом, первое, что приходит в голову – это сравнить боровские частоты с теми, которые испускали бы фиктивные атомы согласно классической теории. Если такое сравнение проделать, то оказывается, что в общем случае между этими двумя категориями частот не существует простого соотношения. Других же путей для дальнейшего продвижения в нужном направлении мы не видим.

Именно здесь и проявилась изобретательность Бора. Он заметил, что электромагнитная теория всегда – очень хорошее приближение для описания явлений макроскопического масштаба. С квантовой же точки зрения макроскопические явления это те, в которых играют роль большие квантовые числа. Поэтому кажется вероятным, что результаты квантовой теории должны асимптотически стремиться к классическим в области больших квантовых чисел. В этой области и следует искать согласования двух рассматриваемых теорий. А так как мы знаем, как вычислять и классические, и квантовые частоты, то нужно прежде всего выяснить, совпадают ли эти частоты для случая стационарных состояний, отвечающих большим квантовым числам.

Рассмотрим теперь одну из внешних электронных траекторий квантового атома, соответствующую большому квантовому числу. Одновременно рассмотрим такую же траекторию электрона в фиктивном классическом атоме. В классическом атоме электрон непрерывно испускает целый набор частот, кратных определенным основным частотам, которые определяются движением электрона. В квантовом атоме электрон в стационарном состоянии не излучает, но он может совершать переходы, при которых произойдет излучение с частотами, определенными правилом Бора.

Оказывается, что каждой частоте, фигурирующей в классической теории фиктивного атома, соответствует определенный переход квантового атома, который приводит к испусканию излучения той же частоты. Таким образом, в области больших квантовых чисел существует хорошее согласие между частотами излучения, испускаемого по классическим законам, и частотами, которые может излучать в процессе перехода квантовый электрон. Но в то время как классический атом испускает все частоты, о которых идет речь, непрерывно и одновременно, квантовый атом может испускать при каждом отдельном акте излучения лишь одну из них. Правда, это глубокое различие механизмов испускания не мешает совпадению результатов: два мысленно сравниваемых ансамбля атомов будут испускать (в области больших квантовых чисел) одинаковые спектральные линии.

Подтвердив таким образом одинаковость предсказаний классической и квантовой теории в отношении частот при больших значениях квантовых чисел, Бор допустил, что предсказания классической теории в отношении интенсивностей и поляризации излучения ансамбля фиктивных атомов, по крайней мере в этой области, будут справедливы для ансамбля реальных атомов. В случае реальных атомов испускание спектральных линий происходит при отдельных переходах между квантованными состояниями. Интенсивность спектральной линии будет при этом зависеть от среднего числа атомов ансамбля, совершающих в единицу времени соответствующий переход, т.е. от вероятности того, что каждый квантовый атом совершит в единицу времени упомянутый переход. Если предположить, следуя Бору, интенсивность данной спектральной линии, испущенной вторым ансамблем, равной вычисленной классически интенсивности той же спектральной линии для первого ансамбля, то это позволит нам оценить с помощью формул электродинамики вероятность данного квантового перехода.

Таким образом, нам удалось решить, по крайней мере для больших квантовых чисел, проблему вычисления интенсивности спектральных линий. Единственное, чего недоставало в первоначальной теории Бора, чтобы проделать это вычисление, – метод оценки вероятности квантового перехода. Идея установления соответствия между каждым из этих квантовых переходов и спектральными составляющими классического излучения привела в рассматриваемом асимптотическом случае к простому и строгому правилу оценки вероятностей перехода. Естественно по аналогии предположить поляризацию реально излучаемых спектральных линий совпадающей с поляризацией, полученной на основе классической теории, чтобы полностью решить вопрос и о поляризации.

К сожалению, этот замечательный способ согласования несовместимых на первый взгляд представлений, нужных для дополнения квантовой теории, имел значение только для области больших квантовых чисел. Практически же для теории атома эта область представляет наименьший интерес, так как, за исключением некоторых очень редких случаев высокого возбуждения, электроны в атоме находятся в стационарных состояниях, соответствующих гораздо меньшим значениям квантовых чисел, и обычные спектральные линии испускаются при переходах именно между такими состояниями. Поэтому для атома в начальном состоянии до перехода или конечном состоянии после перехода между реальными квантовыми частотами и частотами, вычисленными по классической теории, нет простого соотношения. Бор тем не менее смело предположил, что для приближенного вычисления реальной интенсивности и поляризации можно пользоваться классическими оценками интенсивностей и поляризаций, экстраполируя на область малых квантовых чисел соответствие, установленное для больших квантовых чисел. Мы не можем здесь детально объяснить, как Бор пытался уточнить вид этого принципа соответствия. Заметим лишь, что он взял некие средние значения классических величин, вычисленных для группы состояний (нестационарных), промежуточных между начальным и конечным стационарными состояниями, соответствующими данной спектральной линии. Хотя сформулированный таким образом принцип соответствия и привел к интересным и, вообще говоря, точным результатам, создается впечатление, что его вывод носит несколько искусственный характер и что в рамках старой квантовой теории невозможно найти его окончательной формулировки. В рамках новой механики было получено выражение, которое оказалось более обоснованным.

Однако важность выдвинутой Бором идеи скоро подтвердилась. Мысль о том, что электромагнитная теория, оказавшаяся, строго говоря, неверной, сохраняет важную направляющую роль и, подобно нити Ариадны, ведет нас к дальнейшему пониманию истинных квантовых законов элементарных частиц, оказалась весьма плодотворной. Она послужила основой формулировки настоящего метода соответствия, и ученики Бора, полагаясь на этот метод и проникнутые, по словам Гейзенберга, духом Копенгагена, сумели продвинуться вперед по этому пути и сделать замечательные открытия.

3. Некоторые приложения принципа соответствия

Принцип соответствия позволяет, по крайней мере приближенно, вычислить интенсивности различных линий нормальных спектров, а также спектров, измененных эффектами Штарка и Зеемана. Результаты таких вычислений оказались в хорошем согласии с экспериментом.

Одним из самых важных применений этих расчетов интенсивности было исследование спектральных линий, которые существуют по правилу частот Бора, однако испускаются с нулевой интенсивностью, т.е. фактически отсутствуют в наблюдаемом спектре. Остановимся на этом подробнее. Если известны все стационарные состояния и, следовательно, все спектральные термы атома, то, попарно комбинируя согласно правилу Бора эти термы, мы получаем все линии спектра, которые может излучать этот атом. Если же сравнить полученные таким образом таблицы линий с таблицами реально наблюдаемых спектров, то оказывается, что не все вычисленные теоретически линии испускаются в действительности. Иными словами, комбинированием спектральных термов можно предсказать все частоты реального спектра. Обратное же утверждение неверно, ибо в реально наблюдаемой картине спектра не всегда представлены все комбинации спектральных термов.

Значит теория должна была бы дать правила отбора, позволяющие сказать, каким из комбинаций спектральных термов соответствуют реально испускаемые линии. Для этого предполагают, что отсутствие в реальных спектрах нескольких линий, предсказанных теорией, объясняется определенными обстоятельствами, при которых эти линии испускаются с нулевой интенсивностью.

Эта точка зрения подтверждается тем, что в исключительных условиях, например под действием особенно мощных электрических полей, атом начинает испускать линии, обычно в спектре отсутствующие. Принцип соответствия показывает, что при нормальных условиях интенсивность спектральных линий, отвечающих определенным переходам, равна нулю. Это означает, что равна нулю вероятность такого перехода в атоме.

Одно из квантовых чисел, определяющих стабильную орбиту электронов, носит название азимутального квантового числа. Принцип соответствия позволяет показать, что при обычных обстоятельствах отличную от нуля вероятность имеют лишь те переходы, в которых это азимутальное квантовое число увеличивается или уменьшается на единицу. Отсюда можно вывести следующее правило отбора: при обычных обстоятельствах все спектральные линии, соответствующие переходам, в которых азимутальное квантовое число не возрастает или не уменьшается на единицу, имеют нулевую интенсивность и фактически в спектре отсутствуют.

Это правило отбора, дополненное еще одним аналогичным правилом, нашло замечательное подтверждение при исследовании всех видимых и рентгеновских спектров и значительно облегчило классификацию еще не исследованных спектров. Принцип соответствия оказал неоценимую услугу, показав теоретическое значение этих правил отбора, которые были предложены еще раньше из совершенно других соображений (Рубинович).

Очень трудно было объяснить в квантовой теории явление дисперсии света. Коэффициент преломления данного вещества зависит от частоты света и очень сильно меняется вблизи некоторых критических частот, в точности равных частотам тех спектральных линий, которые может излучать это вещество. Прежние теории довольно хорошо объяснили эти изменения коэффициента преломления, и, таким образом, они давали явлению дисперсии удовлетворительное объяснение.

В частности, в электронной теории считалось, что атомы содержат электрические заряды, гармонически колеблющиеся вблизи положений равновесия (электронные осцилляторы). При этом частоты колебаний различных атомных осцилляторов должны быть равны частотам испускаемых атомом спектральных линий. Изучив, каким образом монохроматическая волна, падая на атом, вызывает вынужденные колебания его осцилляторов и каким образом эти вынужденные колебания внутриатомных вибраторов влияют на распространение падающей волны, электронная теория позволила вычислить коэффициент преломления как функцию частоты, причем формула дисперсии полностью согласовывалась с результатами эксперимента. В этой формуле критические частоты дисперсии равны собственным частотам электронных осцилляторов, т.е. частотам спектральных линий данного вещества. Этот вывод совпадал с наблюдаемыми фактами. В теории Бора строгое объяснение дисперсии было гораздо более сложным. Действительно, в атоме Бора механические частоты вращения электронов на своих орбитах не находились в простой связи с оптическими частотами спектральных линий, связанных с переходами, а не с состояниями. Таким образом, теперь было трудно понять, как изменение механического состояния атома под действием падающего света может приводить к явлению дисперсии, где принципиальную роль играют не механические частоты атома, а оптические частоты спектральных линий. Бор и его последователи заметили эту трудность. Появление принципа соответствия позволило Бору найти решение на новом пути. Два ученика Бора, Крамерс и Гейзенберг, сумели получить в 1923 г. квантовую формулу дисперсии, которая не совпадала полностью с классической формулой, но находилась в полном согласии с результатами экспериментов. Впрочем, соображения Крамерса и Гейзенберга не были абсолютно бесспорными. Однако они постоянно руководствовались и вдохновлялись духом принципа соответствия. Как мы уже сказали, полученная таким образом формула не совсем совпадала с классической формулой: она содержала дополнительные члены. Впоследствии Ладенбург показал экспериментально, что этим членам отвечает определенная физическая реальность.

При исследовании формулы дисперсии Гейзенберг убедился, что полезно исключать из теории Бора все не наблюдаемые непосредственно величины, оставляя в ней по мере возможности лишь наблюдаемые величины, например исключить частоты вращения электронов на орбитах, заменив их спектральными частотами, связанными с квантовыми переходами правилом Бора. Эти соображения, очевидно, повлияли на молодого ученого, направив его мысль по тому пути, который привел его несколько позже к открытию квантовой механики.

Квантовая теория дисперсии – высший успех старой квантовой теории – уже содержала в зародыше принципы, триумф которых мы видим в новых волновой и квантовой механиках.