Глава VIII. Волновая механика

1. Основные идеи волновой механики

В 1923 г. стало почти ясно, что теория Бора и старая теория квантов лишь промежуточное звено между классическими представлениями и какими-то очень новыми взглядами, позволяющими глубже проникнуть в исследование квантовых явлений. В старой квантовой теории условия квантования в каком-то смысле чисто внешним образом накладывались на результаты классической теории. Существенно разрывная природа квантования, которая выражалась целыми числами, так называемыми квантовыми числами, находилась в разительном противоречии с непрерывной природой движений, описываемых старой динамикой, как ньютоновой, так и эйнштейновой. Стало совершенно очевидно, что требуется построить новую механику, где квантовые идеи войдут в самую основу построения, а не будут добавлены под конец, как в старой теории квантов.

И любопытно, что эта программа начала осуществляться почти одновременно двумя совершенно различными путями в работах ученых, наклонности которых по существу были совершенно различны. Так были созданы волновая механика, с одной стороны, и квантовая механика, с другой. На первый взгляд казалось, что обе теории совершенно противоположны и по внешнему виду и по применяемому формализму. Эти теории, такие разные по виду, следует на самом деле считать одними и теми же, потому что каждая из них есть лишь перевод другой на иной математический язык. Эти столь различные вначале попытки построить новую механику, по-настоящему насыщенную квантовыми понятиями, в конце концов слились в единое целое, в теорию, которая может быть названа новой квантовой теорией.

Рождение волновой механики (1923 г.) немного опередило квантовую механику (1925 г.). Кроме того, первая оказалась лучше подготовленной к применению математического аппарата.

Прежде всего хотелось бы обрисовать причины, которые привели в 1923...1924 гг. к установлению основных идей волновой механики. Открытый к этому времени эффект Комптона и изучение фотоэффекта рентгеновских лучей лишний раз замечательно подтверждали представление Эйнштейна о световых квантах. Теперь уже едва ли можно было оспаривать дискретную природу излучения и существование фотонов. Следовательно, с еще большей остротой встала грозная дилемма: что такое свет – волны или частицы? Хочешь не хочешь, а для полного описания свойств излучения нужно было применять поочередно картину то волн, то частиц. Соотношение Эйнштейна между частотой и энергией, введенное им на основе его теории фотонов, ясно показало, что этот дуализм излучения неразрывно связан с самим существованием квантов. Тогда возникает законный вопрос, не связан ли этот странный дуализм волн и частиц, примером которого так замечательно и несомненно явился свет, с глубокой и скрытой природой кванта действия? Не следует ли ожидать, что двойственность такого типа обнаружится везде, где только появляется постоянная Планка. Но тогда почти сам собой возникает вопрос: поскольку свойства электрона в стационарном состоянии атома описываются с помощью кванта действия, не можем ли мы предположить, что и электрон так же двойствен, как и свет? На первый взгляд такая идея показалась очень дерзкой. Ведь мы всегда представляли себе электрон в виде электрически заряженной материальной точки, которая подчиняется законом классической динамики (улучшенным в некоторых случаях релятивистскими поправками, которые ввел Эйнштейн). Электрон никогда явно не проявлял волновых свойств, таких, скажем, какие проявляет свет в явлениях интерференции и дифракции. Попытка приписать волновые свойства электрону, когда этому нет никаких экспериментальных доказательств, могла выглядеть как ненаучная фантазия. И тем не менее, как только возникла идея, что электрон, возможно, обладает такими свойствами, и не только электрон, но и вообще материальные частицы, так в голову начали приходить разные беспокойные соображения.

Мы объяснили в первой главе, каким образом теория Якоби позволяет в классической динамике, сгруппировать возможные траектории материальных точек в заданном поле так, что траектории каждой группы напоминают лучи волн, распространяющихся по законам геометрической оптики. Этот замечательный параллелизм позволил рассматривать принцип наименьшего действия как одну из форм принципа Ферма. Несомненно, это формальное сходство между способами описания динамики и геометрической оптики не ускользнуло от такого блестящего математика, как Гамильтон. Однако, по-видимому, он не пытался придать этому физического смысла. Кроме того, этому препятствовали некоторые обстоятельства. Во-первых, и прежде всего, теория Якоби установила связь между распространением волны и группой возможных траекторий данной частицы. Однако согласно классическим представлениям частица в любом физически осуществляющемся случае описывает совершенно строго определенную траекторию. Группа же возможных траекторий – это абстракция, рассматривать которую математик, конечно, имеет полное право, физик же, казалось бы, не должен придавать ей какой-либо конкретный смысл.

Во-вторых, некоторое расхождение в математической форме, по-видимому, указывало на то, что движение частицы нельзя на деле физически сопоставить с распространением волны. Если приравнять скорость частицы и скорость волны, то мы столкнемся с неприятным фактом: эти две скорости по-разному войдут в формулировку принципов Мопертюи и Ферма соответственно. И хотя эти трудности были хорошо известны, но появление тех новых идей, о которых мы уже говорили, придавало волнующую остроту мысли о том, что в классической аналитической механике формальная аналогия между траекториями частиц и световыми лучами устанавливается через посредство понятия действия, т.е. в точности того самого понятия, которое послужило основой для введения квантов. Не подтверждает ли это в самом деле ту мысль, что квант действия служит соединительным звеном между корпускулярным и волновым представлениями о материальных частицах?

И, наконец, еще одно указание. Если правда, что электрон в макроскопических процессах всегда ведет себя как обычная частица, какие есть основания при описании поведения электрона внутри атома навязывать чуждые ему условия квантования, в которых появляются целые числа? Такой способ ограничения классической динамики, когда она применяется к электрону, ясно говорит о ее неполноте и указывает на то, что свойства электрона не всегда такие, как у простой частицы. Если вдуматься, то привлечение целых чисел для характеристики стационарных состояний атомных электронов оказывается уже весьма симптоматичным.

В самом деле, мы часто встречаемся с целыми числами в тех разделах физики, где рассматриваются волны: в теории упругости, акустике, оптике. Они появляются при описании стоячих волн, интерференции, резонанса. Поэтому вполне допустимо предположить, что интерпретация условий квантования может привести к волновой точке зрения на электроны внутри атома. Таким образом, попытаться приписать электрону или вообще всем частицам, подобно фотонам, двойственную природу, наделить их волновыми и корпускулярными свойствами, связанными между собой квантом действия, – такая задача представлялась крайне необходимой и плодотворной.

2. Частица и волна, связанная с ней

В чем же в основном заключалась задача? По существу в установлении определенного соответствия между распространением некоей волны и движением частицы, причем величины, описывающие волну, должны быть связаны с динамическими характеристиками частицы соотношением, которое содержит постоянную Планка h. При том желательно установить это соответствие таким образом, чтобы общие правила, выражающие связь волны и частицы, примененные к фотону, давали хорошо известные и проверенные соотношения Эйнштейна между фотоном и световой волной.

Прежде чем приступить к решению этой задачи, было естественно рассмотреть самый простой случай: задачу о равномерном и прямолинейном движении частицы с заданными постоянными значениями энергии и импульса. Из соображений симметрии следовало сопоставить ей волну, распространяющуюся в том же направлении. Теперь оставалось только определить, как связаны между собой частота и длина этой волны с динамическими характеристиками частицы. Аргументы, основанные на общих принципах теории относительности, приводят к следующему результату: частота волны, связанной с движущейся частицей, равна энергии частицы, деленной на постоянную Планка, а длина волны – частному от деления постоянной Планка на импульс частицы. Такая связь между частицей и соответствующей ей волной обладает еще и тем большим преимуществом, что она в точности совпадает с соотношением Эйнштейна для фотона и световой волны. Так был осуществлен знаменитый синтез, ибо оказалось, что для частиц материи и для света установлен один и тот же вид дуализма.

Есть еще один, совершенно независимый путь, который ведет к такому же способу установления связи между частицей и соответствующей ей волной. Мы уже говорили, что теория Якоби очень прозрачно намекает на идею о сходстве траекторий частиц с лучом некоей волны, отождествляя интеграл действия частицы с волновым интегралом Ферма, так что принцип наименьшего действия совпадает с принципом минимального времени. Если выполнить эту операцию, то мы снова тут же находим, что, с одной стороны, энергия пропорциональна частоте, с другой стороны, импульс обратно пропорционален длине волны. Остается только положить коэффициент пропорциональности равным h(что совершенно естественно и согласуется с идеей объединения этих двух сторон дуализма посредством кванта действия), чтобы снова получить соотношение, уже установленное с помощью теории относительности. Эта новая цепочка рассуждений нигде явно не обращается к понятиям теории относительности. Поэтому она может быть целиком развита в рамках ньютоновой динамики.

Из этих основных результатов легко вывести самое важное следствие, касающееся соотношения между скоростью частицы и скоростью связанной с ней волны. В волновой теории наряду с монохроматическими волнами данной частоты рассматриваются также волновые пакеты, представляющие собой совокупность различных монохроматических волн. Среди этих пакетов интересно рассмотреть те, которые образовались наложением монохроматических волн с частотами, лежащими внутри небольшого спектрального интервала вблизи основной частоты. В действительности, монохроматические волны – это абстракция, никогда не реализующаяся на практике. То, что мы называем монохроматическими волнами, всегда представляет собой группу волн, заполняющих небольшой спектральный интервал. Если изучать распространение волнового пакета в таких условиях, когда скорость распространения монохроматических волн есть функция их частоты, то оказывается, что группа волн в целом обладает скоростью, отличной от скорости распространения отдельных волн, составляющих эту группу. Эта групповая скорость определяется средней частотой группы волн и зависит от изменения индивидуальных волновых скоростей с изменением частоты. Указанная зависимость дается формулой Рэлея – знаменитого английского физика, впервые указавшего на это свойство. Можно попытаться применить эту теорию групповой скорости к волне, связанной с частицей, а затем установить соответствие между движущейся прямолинейно и равномерно частицей, обладающей заданной энергией, и распространением в том же направлении группы волн, средняя частота которых равна этой энергии, деленной на h. Применяя формулу Рэлея, мы видим тогда, что скорость волнового пакета равна скорости, которую классическая механика приписывает рассматриваемой частице. Это замечательное совпадение знаменательно, ибо оно означает, что частица в процессе движения остается связанной со своей группой волн. Но сверх того, общая теория колебаний гласит, что групповая скорость есть не что иное, как скорость переноса энергии волнами. Поскольку в нашей дуалистической концепции энергия приписывается частице, то естественно, что групповая скорость связанных с частицей волн должна быть равна скорости частицы.

Эти первые удовлетворительные результаты еще не полны. Они установлены пока только для очень специального случая прямолинейного равномерного движения частицы в отсутствии внешнего поля. Однако не составляет особого труда обобщить эти результаты. Рассмотрим, например, движение частицы в постоянном поле. Теория Якоби предлагает рассматривать траектории частиц как лучи распространения некоторых волн. Отождествляя принцип наименьшего действия и принцип Ферма, снова приходим к тому же соотношению, связывающему частицу с ее волной: энергия (постоянная) частицы равна частоте волны, умноженной на h, а импульс частицы, который меняется в поле сил от точки к точке, равен постоянной h, деленной на длину соответствующей волны, подобным же образом меняющуюся в пространстве.Можно и дальше обобщить эти результаты, рассмотрев случаи, когда поля зависят от времени. В этом случае снова обнаружим, что соотношения между динамическими характеристиками частицы и частотой и длиной связанной с ней волны остаются теми же самыми.

Обобщая таким образом параллелизм между частицей и связанной с ней волной, мы идем по правильному пути. Действительно, если мы рассмотрим, как ведут себя внутри атома Бора волны, связанные с электронами, придем к пониманию внутреннего смысла условий квантования: связанная с электроном волна оказывается резонансной как раз на длине его траектории. Иными словами, волна, соответствующая стационарному состоянию атомного электрона, сама стационарна в смысле теории колебаний.

Чтобы осознать действительную важность этого результата, напомним кратко, что такое стоячая стационарная волна. Если в ограниченной среде могут распространяться волны какого угодно сорта, то в ней устанавливаются стоячие волны, т.е. такие колебания, конфигурация которых в пространстве не меняется с течением времени. Форму этих колебаний можно сразу определить из характера уравнения, описывающего распространение, волны, геометрии границ среды и условий на этих границах. Например, часто бывает, что условия на границах среды требуют, чтобы колебания на этих границах обращались в нуль (колеблющиеся струны с закрепленными концами, радиоантенны, изолированные на обоих концах и т.д.). В этом случае мы должны искать решения волнового уравнения, периодические во времени и обращающиеся в нуль на границах среды; их амплитуды везде должны быть конечными, однозначно определенными и непрерывными внутри среды. Нахождение этого решения представляет собой математическую задачу о собственных значениях уравнения в частных производных для определенной области пространства и определенных граничных условий. Всем физикам известно много простых примеров такого рода решений. Это, например, упругие стоячие волны, возникающие в колеблющейся струне с закрепленными концами, частота которых кратна основной частоте, или стоячие электромагнитные волны в антенне, изолированной на одном конце с заземленным другим; стоячие волны, длины которых равны учетверенной длине антенны, деленной на последовательные нечетные целые числа.

Применение только что рассмотренной теории колебаний к атому требует, чтобы мы считали стационарные боровские состояния соответствующими стационарным волнам, связанным с атомными электронами.

Несомненно, что такая интерпретация проливает свет на истинный смысл условий квантования и делает весьма вероятным уточнение основных идей, которые мы обрисовали выше, и того пути, по которому они привели нас к взаимосвязи волн и частиц. Однако для лучшего понимания материала последующих глав необходимо особо подчеркнуть две трудности.

Первая возникает, когда мы хотим убедиться в стационарном характере волн, связанных со стационарным состоянием атома, и пользуемся при этом формулой, сопоставляющей движение частицы распространению волны в смысле геометрической оптики. По существу, переводя на квантовый язык идеи, хорошо известные в аналитической механике, мы устанавливаем соответствие между траекториями частицы, какими их представляем себе классически, и лучами, по которым распространяются волны. Мы уже отмечали, что геометрическая оптика с точки зрения волновых представлений – лишь первое приближение, справедливое в том случае, когда волны распространяются свободно, не встречая никаких препятствий, и когда, кроме того, скорость распространения не меняется слишком быстро от точки к точке. Теперь уже легко видеть, что второе условие для волн, связанных с электроном внутри атома, конечно, не выполняется. Следовательно, путь, каким мы пришли к стационарному характеру волны, отвечающей стационарному состоянию атома, нельзя признать строгим.

Избежать этого можно, лишь получив уравнение распространения волны, связанной с электроном, и решив задачу о собственных значениях для волн внутри атома, которая при этом возникает.

Однако необходимо особо подчеркнуть главную идею, содержащуюся в предыдущем рассуждении. Эта важная идея заключается в следующем: так как геометрическая оптика есть только приближение, верное в определенных условиях, и соответствие установлено между классической динамикой и распространением волн по законам геометрической оптики, то вполне возможно, что классическая динамика тоже лишь приближение, имеющее те же пределы применимости, что и геометрическая оптика, перефразировкой которой она, в известном смысле, является.

Во всех случаях, когда волна, связанная с частицей, распространяется не по законам геометрической оптики (а мы уже видели, что это бывает как раз в случае волн, связанных с электронами в квантованных атомных системах), динамическое поведение частицы нельзя описывать, исходя из понятий и законов классической механики. Именно поэтому механику Ньютона и даже механику Эйнштейна нужно впредь называть старой механикой, и необходимо создать новую, в рамках которой эта старая будет первым приближением, справедливым в определенных условиях. Короче говоря, возникла необходимость, как мы писали в те годы, создать новую механику волнового характера, которая будет относиться к старой механике, как волновая оптика к геометрической оптике. Точно и тщательно эта идея была осуществлена в бессмертной работе Шредингера.

В чем же заключается вторая трудность? Прежде чем перейти к существу дела, рассмотрим в качестве простого примера систему, в которой возникают стационарные волны, – струну с закрепленными концами. В такой струне может возбуждаться бесконечное число стоячих волн. Случай, когда струна несет только одно стационарное колебание, т.е. когда она движется строго по синусоиде, исключительный. Обычно струна после нескольких начальных колебаний начинает двигаться по очень сложному закону за исключением ее концов, которые, естественно, не двигаются вообще. Однако математическая теория рядов Фурье гласит, что движение струны, каким бы сложным оно ни было, может быть представлено в виде суммы стационарных колебаний. Математически этот результат выражают следующим образом: синусоидальные функции, описывающие отдельные стационарные волны, образуют полную систему ортогональных функций. Этот результат можно обобщить на случай систем более сложных, чем струна с закрепленными концами. Можно показать, что если в какой-либо области пространства возникают стационарные колебания, то, какова бы ни была их форма, ее можно представить в виде суперпозиции некоторого числа (конечного или бесконечного) стационарных колебаний.

Применение этих общих идей к квантованным атомным системам сразу же приводит к упомянутой трудности. По первоначальным представлениям Бора атом всегда находится в том или ином стационарном состоянии. При этом предполагается дискретность, как раз и означающая квантование. Такой взгляд ни в чем не противоречит классической картине состояния атома. Однако если предположить, что стационарное состояние соответствует стационарным колебаниям, то общая теория, которую мы только что бегло описали, приводит к такому выводу: состояние атома в данный момент времени может свестись к единственному стационарному состоянию только в исключительных случаях. В общем же случае оно представляет собой наложение определенного числа стационарных состояний. Можно сказать, что с точки зрения классических представлений такое утверждение лишено всякого смысла, ибо невозможно себе представить, что атом может в один и тот же момент времени находиться в нескольких состояниях. Эта трудность показывает, что развитие новой механики претендует на глубокую перестройку основных понятий классической физики, перестройку, необходимость которой, как мы уже говорили, в зародыше содержится уже в самом существовании кванта действия. И только вероятностная интерпретация новой механики позволит нам скоро придать суперпозиции нескольких состояний физический смысл.

3. Работы Шредингера

Эрвину Шредингеру в его великолепной статье, увидевшей свет в 1926 г., выпала честь первому написать в явном виде волновое уравнение волновой механики и вывести из него строгий метод решения квантовых задач. Чтобы получить уравнение для волн, связанных с частицей, можно исходить из идеи о том, что с точки зрения новой теории старая механика эквивалентна приближению геометрической оптики. В теории Якоби траектории частиц рассматриваются как световые лучи, которые соответствуют поверхности, определяемой полным интегралом уравнения первого порядка второй степени в частных производных, названного уравнением Якоби. Мы уже отмечали (см. гл. II п. 2), что уравнение Якоби по форме совершенно аналогично основному уравнению геометрической оптики и что именно это обстоятельство – причина аналогии между теорией Якоби и теорией распространения волн в ее геометрическом приближении. Поэтому волновое уравнение волновой механики нужно записать таким образом, чтобы соответствующее уравнение геометрической оптики, справедливое в условиях, которые мы уже уточнили, совпадало с уравнением Якоби. Чтобы получить уравнение распространения, удовлетворяющее этому условию, Шредингер проделал следующее: прежде всего он установил соотношение, которое для данной задачи в классической механике давало бы энергию как функцию координат частицы и компонент ее импульса. Далее в этом выражении, которое носит в механике название гамильтониана, каждая компонента импульса в декартовой системе координат заменялась символом производной по соответствующей координате, умноженной на константу, пропорциональную постоянной Планка. Таким образом, гамильтониан был превращен в некий оператор, оператор Гамильтона. Теперь достаточно было применить этот оператор к волновой функции системы (которая обычно обозначается греческой буквой «КСИ») и приравнять полученный результат производной волновой функции по времени, умноженной на упомянутую константу.

Полученное таким образом уравнение можно принять в качестве волнового уравнения частицы, ибо в приближении геометрической оптики оно сводится к уравнению Якоби, которое можно написать для рассматриваемой задачи в классической механике.

Здесь следует сделать несколько замечаний по поводу полученного таким способом уравнения распространения связанных с частицей волн. Во-первых, это уравнение определяет волновую функцию как функцию скалярную, а не векторную. Это приводит к существенному различию между волной, связанной с частицей, и световой волной. Правда, известно, что волновая теория света также вначале исходила из того, что световые колебания описываются скалярной функцией. Такая точка зрения и сегодня может объяснить многие явления дифракции и интерференции. И только лишь при рассмотрении поляризации нужно учитывать векторный характер волновой функции. Итак, можно предположить, что в один прекрасный день скалярная волновая функция будет заменена волновой функцией нескольких компонент при соответствующем обобщении теории. Ниже мы покажем, что это предсказание подтвердилось рождением теории электрона Дирака. Как мы увидим, эта теория не одинакова для случаев электрона и фотона.

Следует сделать еще одно замечание по поводу уравнения распространения волн. Дело в том, что оно комплексно, т.е. его коэффициенты не являются действительными числами, в них фигурирует величина (корень из –1). Это обстоятельство, на первый взгляд совершенно случайное, показывает, насколько трудно придать «КСИ»-волне волновой механики такой же физический смысл, какой приписывает волнам классическая физика. Действительно, в классической физике распространение волны связано с переносом свойств колеблющейся среды, существование которой либо совершенно очевидно, либо предполагается (последнее только в случае классической теории света). Они описывают действительные процессы и должны быть выражены действительными функциями. Если же, как это часто делают при описании оптических явлений, иногда полезно заменить указанные действительные функции комплексными величинами, действительной частью которых они являются, то это только вычислительный прием, без которого всегда можно обойтись.

В волновой механике все наоборот. Из-за мнимых коэффициентов в самом волновом уравнении комплексный характер «КСИ»-функции, по-видимому, является существенным. Он приводит к тому, что все попытки рассматривать волны волновой механики как физическую реальность, соответствующую колебаниям какой-то среды, оказываются несостоятельными. В ходе развития волновой механики функцию «КСИ» стали рассматривать как некую вспомогательную величину, значение которой позволяет вычислить другую величину. Эта последняя уже действительна, она имеет физический смысл, причем, как правило, статистического характера. Мы еще должны будем вернуться к этому пункту. Здесь же уместно было просто отметить, почему волновое уравнение волновой механики уже по своей форме вынуждает нас отказаться от идеи дать этим волнам непосредственное физическое толкование.

Мы объяснили, как Шредингер добился успеха в выводе для самого общего случая уравнения распространения связанной с частицей «КСИ»-волны. Однако при написании этого уравнения он исходил из формул ньютоновой механики. Поэтому его уравнение распространения не удовлетворяет требованиям теории относительности и естественно ожидать, что оно справедливо лишь для частиц, обладающих очень малой скоростью, т.е. для волн не очень большой частоты. Теперь встал вопрос о том, чтобы найти уравнение распространения, имеющее релятивистский характер и содержащее уравнение Шредингера как первое приближение для низких частот. Уравнение такого типа, которое казалось естественным с точки зрения здравого смысла, было предложено почти одновременно несколькими учеными. Однако это релятивистское уравнение, будучи уравнением второго порядка по времени, приводило к ряду трудностей. Правильное релятивистское обобщение уравнения Шредингера было получено Дираком совсем другим путем.

Шредингер предложил также волновое уравнение (нерелятивистское), которое описывало систему, ансамбль взаимодействующих между собой частиц. Однако поскольку мы ввели новые понятия, требующие специального разбора, отложим изложение волновой механики систем частиц до главы XII.

Вооружившись своим волновым уравнением, Шредингер приступил к строгому решению задачи определения стационарных состояний квантовой системы, предположив в соответствии с приближенной теорией, что эти стационарные состояния соответствуют связанным с частицами стационарным волнам. Рассмотрим в качестве квантовой системы атом водорода. Мы знаем уравнение распространения волн, соответствующих этой системе. Естественно предположить, что, так как система ограничена некоторой областью пространства, «КСИ»-функция при удалении от центра системы быстро стремится к нулю. Если мы также предположим, как это обычно делают в математической физике, что «КСИ»-функция должна быть везде однозначна и непрерывна, то нахождение стационарных состояний сводится к отысканию монохроматических решений уравнения распространения, конечных и однозначных во всем пространстве и обращающихся в нуль на бесконечности. Шредингер, использовав известные методы анализа, блестяще решил эту задачу для нескольких типов квантовых систем. Он обнаружил, что монохроматические решения, удовлетворяющие наложенным условиям, существуют лишь для некоторых определенных значений частоты. Эти значения являются собственными значениями волнового уравнения в частных производных данной задачи с граничным условием обращения «КСИ» в нуль на бесконечности. Собственной частоте системы в соответствии с общим соотношением между свойствами волны и характеристиками частицы сопоставляется квантованное значение энергии частицы, которое получается умножением частоты на h. Таким образом, расчеты Шредингера позволили получить квантованные значения энергии и, следовательно, значения спектральных термов. В большинстве случаев точно такой же результат был получен в старой квантовой теории. Примером может служить, скажем, атом водорода, для которого были получены в точности боровские результаты. Однако в некоторых важных случаях полученные новым методом результаты отличались от выводов старой квантовой теории, причем новые решения лучше согласовались с экспериментом, чем старые. Самым замечательным примером этого оказался линейный осциллятор. Напомним, что квантование линейного осциллятора, с которым столкнулся в своей теории излучения Планк, послужило отправной точкой всего развития квантовой теории. Старый метод квантования предполагал, что квантованные значения энергии линейного осциллятора являются целыми кратными энергии кванта, полученной умножением собственной частоты механических колебаний осциллятора на постоянную Планка h. Однако физические задачи, в которых фигурировал квантовый осциллятор (например, полосатый спектр двухатомной молекулы), по-видимому, указывали, что квантованные значения энергии осциллятора должны быть равны произведениям не целых значений кванта энергии, а полу целых, т.е. квант энергии умножается на 1/2, 3/2, 5/2... (2n + 1)/2. Новый метод квантования, отличаясь в этом пункте от старой квантовой теории, точно предсказывает именно такое квантование полу целыми долями. Итак, Шредингер вновь получил правильные результаты старой теории и уточнил другие результаты. Успех был полным.

Любопытное совпадение натолкнуло Шредингера на мысль, которая привела его к самым замечательным открытиям. Незадолго до этого Гейзенберг сформулировал свою квантовую механику. Его новый метод, внешне совершенно отличный от волновой механики, дал точно такие же результаты для квантованных значений энергии атомных систем, что и метод Шредингера, тем самым подтвердив и уточнив результаты старой квантовой теории. Шредингер интуитивно чувствовал, что это совпадение не случайно. Ему мастерски удалось показать, что квантовая механика Гейзенберга, несмотря на совершенно иной внешний вид представляет собой всего лишь математическую перефразировку волновой механики.

Важность эффекта Зеемана и его электрического аналога, эффекта Штарка, хорошо известна. Шредингер попытался с помощью волновой механики развить теорию этих явлений. С этой целью он разработал прекрасный метод возмущений, волновой вариант классического метода небесной механики. Действительно, магнитные и электрические поля, которые мы можем создавать, ничтожно малы по сравнению с электромагнитными полями, действующими внутри атомных систем. Чтобы получить эффект Зеемана или Штарка, на атомы воздействуют однородным магнитным или электрическим полем, и это поле можно рассматривать как очень малое возмущение собственного поля атомной системы. Если нам уже известны квантованные значения энергии данной системы в отсутствие внешнего поля, то необходимо лишь учесть очень слабое изменение этих величин, которое вызывается возмущающим полем.

Шредингер, применив свой метод возмущений, решил эту задачу и получил таким образом детальную теорию эффектов Зеемана и Штарка. Что касается эффекта Штарка, то результаты полностью совпали с предсказаниями старой квантовой теории. В некоторых отношениях теория, по-видимому, оказалась более точной. В случае эффекта Зеемана снова в согласии со старой квантовой теорией получаем результат Лоренца. Это вполне удовлетворительно, поскольку в данном случае явление протекает в основном так, как его предсказал Лоренц (нормальный эффект Зеемана).

Однако кроме нормального эффекта Зеемана, предсказанного Лоренцом, в некоторых случаях обнаруживается более сложный аномальный эффект. Ни классическая, ни старая квантовая теории не способны были объяснить эти явления. В руках Шредингера волновая механика добилась в этом пункте не большего успеха. Для объяснения аномального эффекта Зеемана понадобилось ввести еще одну характеристику – спин электрона.

4. Дифракция электронов

Итак, мы показали, как идеи автора этой книги о связи между волнами и частицами и о необходимости создания новой механики волнового характера приобрели к 1926 г. благодаря превосходным работам Шредингера необычайную полноту и точность. Однако какими бы замечательными ни были руководящие идеи и основные методы, какими бы точными ни казались подтверждения, которые были получены благодаря правильным предсказаниям атомных явлений, прямое экспериментальное доказательство этих представлений все же отсутствовало. Такое доказательство принес 1927 г., когда Дэвиссон и Джермер открыли явление дифракции электронов.

Поскольку движение частиц неразрывно связано с распространением волны, было бы очень странно, если бы материальные частицы, например электроны, не проявляли интерференционных и дифракционных свойств подобно тому, как это происходит с фотонами и изучением которых занимается физическая оптика. Чтобы выяснить, какие из этих явлений можно реально наблюдать, нужно было прежде всего оценить длину волн, связанных с электронами. Формулы волновой механики немедленно дают ответ на этот вопрос: длина волны, связанной с электронами, при обычных условиях всегда очень мала, порядка длины волны рентгеновских лучей. Поэтому можно было надеяться наблюдать у электронов те явления, которые происходят с рентгеновскими лучами.

Известно далее, что фундаментальное явление физики рентгеновских лучей – это дифракция на кристаллах. Необычайно малая длина волны рентгеновских лучей почти исключает возможность использования для наблюдения их дифракции приборов, сделанных руками человека. К счастью, сама природа позаботилась о том, чтобы создать годные для этих целей дифракционные решетки – кристаллы.

Действительно, в кристаллах атомы и молекулы расположены в правильном порядке и образуют трехмерную решетку. Причем оказалось, что расстояние между частицами в кристалле как раз порядка длины волны рентгеновских лучей. Направляя пучок рентгеновских лучей на кристалл, можно получить дифракционную картину, совершенно аналогичную картине дифракции обычного света на трехмерной точечной решетке.

Явление дифракции рентгеновских лучей было открыто в 1912 г. фон Лауэ, Фридрихом и Книппингом, и теперь оно служит основой широкого развития рентгеновской спектроскопии. Исходя из всего этого, можно было ожидать, что совершенно аналогичное явление можно наблюдать для электронов. Взяв пучок электронов с заданной кинетической энергией, мы должны были бы наблюдать явление дифракции, такое же, как дифракция рентгеновских лучей. Поскольку структура кристаллов, применяемых в экспериментах такого типа, хорошо изучена различными методами, главным образом с помощью рентгеновских лучей, мы могли бы из полученной при дифракции электронов картины вычислить длину волны, связанную с электронами, и, следовательно, подтвердить правильность соотношения, которое волновая механика предполагает для движущихся частиц и связанных с ними волн.

Дэвиссону и Джермеру, сотрудникам лаборатории «Белл-телефон» в Нью-Йорке, выпала честь открытия дифракции электронов на кристаллах. Бомбардируя кристалл никеля пучком моноэнергетических электронов, они твердо установили, что электроны дифрагируют как волны, и показали, что длина этих волн в точности совпадает с той, какую дают формулы волновой механики. Так было установлено существование этого тонкого явления, предположение о котором за несколько лет до этого вызывало удивление и недоверие физиков.

Повторенное почти одновременно в Англии Дж. П. Томсоном, сыном Дж.Дж. Томсона, применившим совершенно иной метод, явление дифракции электронов вскоре стали наблюдать почти во всех странах. Это явление в разных условиях и при различной постановке опытов изучали Понт во Франции, Рупп в Германии, Кикучи в Японии и многие другие. Вскоре стали известны все его детали. Постепенно было устранено большинство мелких трудностей объяснения этого явления, которые вначале возникли. Этого удалось добиться, когда приняли во внимание, что внутри кристалла показатель преломления волн, связанных с электроном, отличен от единицы. Дифракцию электронов удалось получить и на обычной решетке, использовав почти касательное падение (Рупп), как это было ранее проделано с рентгеновскими лучами (Комптон, Тибо). Таким путем можно прямо сравнить длину волны, связанной с электроном, с шириной линий, нанесенных на металлической поверхности механическим способом.

Как это часто бывает, явление дифракции электронов, как вначале казалось, очень трудно наблюдаемое и требующее высокого искусства экспериментатора, теперь стало относительно простым и повседневным. Приборы для наблюдения явления дифракции стали настолько совершенными, что сегодня это явление можно демонстрировать студентам на лекции. Наконец, условия этих экспериментов варьировались в таких широких пределах, что справедливость основной формулы, выражающей соотношение между свойствами волны и характеристиками частицы, можно считать теперь доказанной во всем интервале энергий от нескольких электрон-вольт до миллиона электрон-вольт. Для больших значений энергии необходимо учитывать релятивистские поправки. Таким образом, косвенно подтверждаются и результаты теории относительности.

Справедливость формулы для длины волны, связанной с частицей, считается сегодня настолько очевидной, что явление дифракции электронов используется уже не для подтверждения этой формулы, а для изучения структуры некоторых кристаллических или частично ориентированных сред. Однако это уже технические применения. Ограничимся замечанием, что эксперименты по дифракции электронов дали великолепное прямое подтверждение представления о связи волн и частиц, которое послужило исходным пунктом для создания новой механики.

Заканчивая этот параграф, уместно отметить, что была получена дифракция не только электронов, но и других частиц. Так же, как и электроны, явление дифракции испытывают протоны и атомы. Подобные эксперименты очень сложны и не столь многочисленны, однако установлено, что даже здесь подтверждаются формулы волновой механики. Это не должно нас удивлять. Связь между волнами и частицами – это, по-видимому, великий закон природы, причем такой дуализм тесно связан с существованием и внутренней сущностью кванта действия. Нет никаких причин считать, что только электроны обладают такими свойствами. Неудивительно, что мы встречаемся с дуализмом волна – частица при изучении всех физических объектов.

5. Физическое объяснение волновой механики

Попытаемся теперь показать, что можно извлечь из знания волновой функции системы. Старая механика соответствует приближению геометрической оптики, и все представления и понятия, которыми она пользуется, должны быть отброшены, когда мы выходим за пределы этого приближения. Поэтому мы уже не можем применять, во всяком случае безо всяких предосторожностей, понятия положения, скорости и траектории частицы. Мы снова должны рассмотреть эти понятия и исследовать, что можно сказать, зная волновую функцию, о величинах, характеризующих частицу. Те постулаты, которые мы сформулируем, должны удовлетворять важнейшему условию: они должны вновь приводить к понятиям и результатам старой механики, как только «КСИ»-волна станет удовлетворять законам геометрической оптики.

Интерпретация волновой механики носит вероятностный характер. Какие же постулаты приходится принять физикам, чтобы пользоваться уравнениями волновой механики?

Прежде всего, поскольку «КСИ»-функция существенно комплексна, она непосредственно не пригодна для изображения физических колебаний. Однако можно попытаться образовать с помощью «КСИ»-функции действительные выражения, которые уже имеют физический смысл. Одно из них, которое в первую очередь, естественно, приходит в голову, это квадрат модуля комплексной величины «КСИ», который получается умножением волновой функции на комплексно сопряженную величину. Эту величину можно рассматривать как квадрат амплитуды «КСИ»-функции, т.е. ее интенсивность в обычном смысле теории колебаний. Чтобы понять, какой смысл следует приписать этой важной величине, мы снова должны вернуться к теории света, которая нам так часто служила путеводной звездой, и выяснить с ее помощью, что означает интенсивность световых волн, если предположить существование фотонов.

Рассмотрим классический опыт по дифракции или интерференции света. Волновая теория определяет (и мы знаем, с какой огромной точностью) положение светлых и темных полос на экране. Это делается при помощи расчета интенсивности световых волн в каждой точке экрана в предположении, что энергия световых волн распределена в пространстве пропорционально их интенсивности.

Эту гипотезу, которая подтверждается различным образом в различных теориях света, упругих и электромагнитных, можно рассматривать в качестве постулата – принципа интерференции.

Теперь введем понятие фотона. Луч света можно рассматривать как поток фотонов. Тогда эксперименты по интерференции и дифракции света представляются как опыты, в которых фотоны под воздействием приборов распределяются в пространстве неравномерно, уходя из темных мест и концентрируясь в светлых. Поскольку предсказания теории подтверждаются очень точно, можно сказать, что интенсивность волн, рассчитанная по этой теории в каждой точке, пропорциональна плотности фотонов.

С другой стороны, мы уже говорили о таких удивительных экспериментах, которые обнаруживают возможность получения картины интерференции с помощью необычайно слабых световых потоков. В этих опытах интерференция происходит даже, когда фотоны проходят через интерферометр поодиночке. Поэтому для объяснения картины обычной интерференции, которая получится после большой экспозиции, нужно предположить, что интенсивность волны, связанной с каждым фотоном, в каждой точке представляет собой вероятность того, что фотон находится в этой точке. Таким образом, от статистической точки зрения мы приходим к вероятностной. Принцип же интерференции оказывается принципом, определяющим вероятность локализации фотонов. Если теперь вернемся к теории частиц, то увидим, что и здесь мы должны ввести точно такой же принцип, ибо дифракция электронов на кристалле происходит совершенно таким же образом, как дифракция фотонов той же длины волны. Таким образом, и в этом случае интенсивность волны, связанной с электронами, определяет вероятность их локализации в пространстве. Итак, мы приходим к следующему утверждению: квадрат модуля «КСИ»-функции в каждой точке и в каждый момент времени определяет вероятность того, что соответствующая частица будет наблюдаться в этой точке в тот же момент времени.Не следует закрывать глаза на то, сколько изменений вносит подобный постулат в наши представления.

Так как «КСИ»-функция, вообще говоря, отлична от нуля в целой области пространства, то частицу можно найти в любой точке этой области. В данный момент времени частице нельзя приписать точное положение в пространстве. Можно только сказать, что ее можно найти в данной точке с такой-то вероятностью. Вместе с отрицанием понятия строго определенного положения в пространстве исчезают и понятия скорости и траектории. Во всяком случае, они становятся весьма смутными. Вообще все достоверные представления старой механики становятся вероятностными. Здесь мы приоткрыли завесу над важным изменением метода, который наука использует для описания и предсказания явлений природы, изменением, заключающим в себе глубокие философские следствия.

Оставляя за собой право вернуться к этим вопросам в дальнейшем, сформулируем здесь второй принцип, который физики вынуждены принять в их интерпретации волновой теории. Впервые этот второй принцип, насколько нам известно, был сформулирован Борном, когда он начал свое блестящее исследование методами волновой механики задачи о столкновениях частиц. Этот принцип можно назвать принципом спектрального разложения.

Чтобы понять природу этого нового постулата, рассмотрим сначала простой случай частицы, движущейся в отсутствии внешнего поля. Если волна, связанная с частицей, является плоской монохроматической волной, то мы знаем, что энергия частицы строго определена и равна произведению частоты волны на постоянную Планка h. Однако с точки зрения волновой механики «КСИ»-волна не обязательно будет монохроматической. Но ее можно с таким же успехом записать в виде суперпозиции плоских монохроматических волн, образующих волновой пакет. При этом она также будет удовлетворять линейному волновому уравнению. Какова же будет энергия соответствующей частицы в этом случае? Ответить на данный вопрос затруднительно, ибо «КСИ»-волна состоит теперь уже из волн множества различных частот.

Борн предложил разрешить эту трудность, вновь обратившись к вероятности. Согласно теории Борна частица не обладает определенной энергией. Она может иметь одну из энергий, соответствующую одной из частот «КСИ»-волны. Более точно это означает, что при определении энергии частицы можно найти одну из этих величин, не зная a priori, какую именно. Единственно, что можно сказать a priori, это какова вероятность обнаружить то или иное из возможных значений энергии. В этом заключается введенный Борном новый принцип.

В сущности утверждение, что волна, связанная с частицей, представляет собой суперпозицию плоских монохроматических волн, означает, что «КСИ»-функция математически изображается в виде суммы членов, каждый из которых описывает монохроматическую волну. Каждый из этих членов характеризуется коэффициентом, который можно назвать парциальной амплитудой этой монохроматической компоненты спектрального разложения «КСИ»-волны. Квадрат модуля этой амплитуды будет определять соответствующую парциальную интенсивность. Принцип, сформулированный Борном, состоит в утверждении, что вероятность того, что измерение энергии частицы даст определенную величину, соответствующую одной из монохроматических компонент «КСИ»-волны, дается соответствующей парциальной интенсивностью в спектральном разложении этой волны. Этот принцип снова находится в полном согласии с положениями оптики.

Действительно, предположим, что на призму или дифракционную решетку падает немонохроматическая световая волна. После прохождения луча через прибор оказывается, что различные монохроматические компоненты волны отделяются друг от друга. Очевидно, вероятность того, что фотон первичного луча попадет в тот или иной отклоненный луч, пропорциональна интенсивности соответствующей монохроматической компоненты в спектральном разложении падающей волны.

Этот вопрос можно рассмотреть также с более общей точки зрения. Примененный к квантовым атомным системам, этот принцип дает ключ к разрешению трудности, о которой уже говорилось. В квантовом атоме существует набор частот, соответствующих стационарным значениям квантованной энергии. Однако для такой системы, как и для колеблющейся струны, можно легко представить себе, как некоторое состояние образуется суперпозицией стационарных состояний. В самом деле, взяв в качестве «КСИ»-функции сумму подходящих колебаний, можно снова получить решение волнового уравнения, поскольку оно линейно. Правда, о состоянии атома, которое описывается этой «КСИ»-функцией, уже нельзя сказать, что оно стационарно. Оно представляет собой нечто вроде нескольких стационарных состояний в один и тот же момент времени. Совершенно непонятно, что это означает с классической точки зрения.

Принцип спектрального разложения позволяет разрешить эту трудность совершенно неожиданным образом: атом в рассматриваемом состоянии может иметь любое из квантованных значений энергии, которые соответствуют спектральному разложению его «КСИ»-волны, с вероятностью, пропорциональной интенсивности соответствующих спектральных компонент. Здесь это снова означает, что эксперимент, позволяющий нам приписать атому определенную энергию, дает ее значение, соответствующее спектральному разложению. Вероятностный характер этой трактовки позволяет вновь почувствовать ту совершенно новую форму, которую должна принять физическая теория.

Сопоставление только что установленных двух принципов ведет к соотношениям неопределенности, связанным с именем Гейзенберга. Изучение этого важнейшего вопроса будет более уместным в разделе, который посвящен вероятностной трактовке новой механики.

6. Теория Гамова

Следует сказать несколько слов об одном замечательном применении волновой механики, которое нашел Гамов. Эта теория представляет интерес не только потому, что она объяснила некоторые явления радиоактивности. Она показала так же, как видоизменяется постановка некоторых задач при переходе от старой механики к новой.

Рассмотрим частицу, движение которой тормозится некоторым силовым полем. Пусть силовое поле, которое мы предполагаем статическим, в некоторой точке обращается в нуль, а затем меняет знак. При этом потенциал, определяющий это поле, вначале растет, затем проходит через максимум и, наконец, падает. Фигурально говоря, мы имеем здесь дело с потенциальным барьером. Сможет ли поднимающаяся на этот барьер частица перейти через него? Классическая механика отвечает на этот вопрос следующим образом: да, если эта частица обладает энергией, достаточной, чтобы достигнуть вершины, она опустится по другую сторону, перевалив, таким образом, через барьер. Однако если энергии у частицы недостаточно, чтобы достигнуть вершины, то она никогда не преодолеет этот барьер, ибо, истощив весь свой запас энергии, она застрянет на подъеме и в конце концов скатится назад.

Совсем иначе обстоит дело в волновой механике. Здесь мы должны наглядно представить себе, как распространяется волна, связанная с частицей. Можно показать, что до тех пор, пока высота потенциального барьера меньше энергии частицы, для такой волны этот барьер является аналогом преломляющей среды. Если энергия частицы больше, чем значение потенциала на вершине, то она легко переходит с одной стороны на другую. С этой точки зрения нет никакой разницы между старой и новой теориями. Однако если энергия частицы ниже, чем высота потенциального барьера, то избыточная часть высоты барьера играет для волн роль поглощающей среды. Но согласно волновой теории при падении на поглощающую среду волна все же через нее проходит, правда в сильно ослабленном виде. Это затухание волны таково, что если толщина поглощающей среды достаточно мала, то некоторая часть волны, в действительности очень малая, может просочиться сквозь эту поглощающую среду. Этот факт бесспорно подтвержден в оптике. Переходя к нашей задаче волновой механики, мы видим, что частица, энергия которой слишком мала, чтобы перевалить через вершину потенциального барьера, может пройти через него, если его ширина не слишком велика. Точнее говоря, частица, отскакивающая от потенциального барьера, если ее энергии недостаточна, чтобы перевалить через вершину, имеет, однако, определенную вероятность (конечно, очень малую, но не равную нулю) появиться с другой стороны барьера. Это следует из вероятностей трактовки, связанной с частицей волны, и принципа интерференции. Описанное явление – следствие волновой природы материи часто образно называют туннельным эффектом.

Допустим теперь, что частица заключена в пространстве, со всех сторон ограниченном потенциальными барьерами, высота которых больше ее энергии. Классическая механика утверждает, что частица никогда не сможет вырваться из этой потенциальной ямы. Согласно же волновой механике частица, наоборот, имеет вполне определенную, небольшую вероятность покинуть яму. Волновая механика позволяет вычислить вероятность выхода за единицу времени.

Теперь посмотрим, как Гамов (и почти одновременно с ним Кондон и Гарни) применил эту теорию к изучению задачи радиоактивного распада. Известно, что большое число радиоактивных веществ распадается с испусканием «альфа»-частиц. Можно предположить, что «альфа»-частицы еще до распада заключены в ядрах радиоактивных атомов как в потенциальной яме. Поскольку закон Кулона действует вблизи ядра вплоть до самых близких расстояний от него, вид внешнего склона потенциальной горы известен. Весьма вероятно, что потенциал на определенном расстоянии от ядра в конце концов перестает быть кулоновским: потенциал должен пройти через максимум и затем упасть, однако закон изменения внутреннего склона барьера совершенно неизвестен. Величайшее удивление вызывал у физиков такой факт: энергия «альфа»-частиц, выходящих из распадающихся ядер, была, по-видимому, гораздо ниже той, которая позволила бы им перевалить через окружающий ядро потенциальный барьер. Действительно, можно достаточно далеко исследовать внешний склон потенциального барьера, чтобы обнаружить, что вершина его заведомо превосходит некоторую определенную высоту. Вылетающие же из ядра «альфа»-частицы не обладают энергией, достаточной, чтобы достичь этой высоты. Если исходить из классических представлений, то мы попадаем в тупик. А вот туннельный эффект сразу все объясняет. Заключенные в радиоактивном ядре «альфа»-частицы находятся в потенциальной яме с очень высокими стенками. Тем не менее они имеют определенную вероятность за единицу времени выскочить наружу. Эта вероятность, очевидно, равна постоянной распада радиоактивного вещества. Итак, волновая механика позволяет при условии, если мы точно знаем форму потенциального барьера, вычислить постоянные «альфа»-распада радиоактивных веществ. Сделав разумные предположения о форме этих барьеров, Гамов показал, что результаты теории очень близки к наблюдаемым.

Одним из важнейших успехов теории Гамова явилось объяснение закона Гейгера – Неттола, согласно которому скорость вылетающих «альфа»-частиц для элементов с малым периодом полураспада больше, чем для долгоживущих. Этот закон математически выражается соотношением между постоянной распада и энергией «альфа»-частиц, испущенных при распаде, соотношением, из которого следует, что постоянная распада очень сильно зависит от энергии «альфа»-частиц.

Теория Гамова очень хорошо объясняет этот закон. Причину такого согласия легко понять: чем больше энергии недостает частице, заключенной в потенциальной яме, чтобы достичь высоты барьера, тем меньше вероятность ее вылета. И эта вероятность очень быстро падает с уменьшением энергии заключенной в яме частицы. Но так как вероятность равна постоянной распада и так как частица, вышедшая благодаря туннельному эффекту, обладает той же энергией, что и до выхода, мы находим, таким образом, соотношение между постоянной распада и энергией «альфа»-частицы, испущенной при распаде ядра. Вид формулы согласуется с экспериментом. Правдоподобные гипотезы относительно профиля потенциала ядра позволяют достичь и численного соответствия. Конечно, теория Гамова очень неполна, ибо ядра тяжелых радиоактивных элементов гораздо более сложны, и их нельзя рассматривать просто как потенциальные ямы, наполненные «альфа»-частицами. Тем не менее, успех теории Гамова в объяснении некоторых фактов показывает значение новых понятий волновой механики и необходимость вероятностной трактовки при разрешении некоторых несомненных трудностей, возникающих в экспериментах.