Я чувствовал себя тогда так, будто вернулся к тем далеким временам, когда еще не различали причину if следствие. У меня выходило, что релятивистское рассмотрение протяженных областей невозможно, если не условиться, что все точки внутри них в каком-то смысле одновременны: ведь одновременными мы считаем те объекты, которые рассматриваем совместно. Чтобы избежать неприятностей, мне нужно было научиться трактовать как одновременные пары точек в моих протяженных областях, разделенные ультрамикроскопическими времениподобными промежутками. Речь шла о том, чтобы наделить времениподобные интервалы свойствами, пространственно-подобных. Понятия времениподобного и пространственно-подобного интервала всегда были взаимоисключающими, но как быть, если не относиться к этим крайне малым времениподобным промежуткам как пространственно-подобным? Пространственно-временная область в теории относительности не может быть чисто пространственно-подобной. Она автоматически включает времениподобные интервалы, Но если мы думаем об этой области как о едином целом, то мыслим ее одновременно существующей. Спрашивается, можно ли такую идею выразить не только словесно,, по и математически? Оказывается, это возможно.
Подобными проблемами много занимался советский физик М. А. Марков. Просто удивительно, насколько похожими оказались его и мой подходы. Разумеется, в деталях были различия, но между нашими подходами, можно проследить глубокую связь. М. А. Марков стал заниматься этими вопросами раньше, а в Японии над ними работал проф. Коно (Университет в Иокогама). Идеи этих исследователей немного различаются, но я попробую, пренебрегая различиями, изложить их следующим образом.
Построим некое локальное поле, сильно отличающееся от обычных локальных полей, так сказать, недоброкачественное поле. Пусть расстояние между началом отсчета 0 и точкой А (рис. 10) равно а. Потребуем, чтобы поле в точке А' коммутировало с полем в точке 0. Это значит, что пространственно-подобная область занимает не только часть, заштрихованную на рис. 10 косыми линиями, но и горизонтально заштрихованный участок, т. е. проникает внутрь светового конуса (см. примеч. 82), ибо полевые величины в некоторых точках светового конуса теперь коммутируют (либо антикоммутируют): ведь мы потребовали, чтобы коммутатор (или антикоммутатор, см. примеч. 83) равнялся нулю. М. А. Марков говорил немного другое, но, в общем, введем такое поле.
Что у нас получилось? Теперь в некоторых парах времениподобных точек поля взаимно независимы. Полевые величины в точках области, заштрихованной на рис. 11, независимы от поля в точке 0. Независимы также поля в точках Р и 5, но этого нелья сказать о полях в точках R и S. А в точках R и S' поля тоже независимы. Где находится геометрическое место точек, поля в которых взаимно независимы? Ответ простой: поскольку граница области, значения поля в которой не зависят от поля в точке 0, дается гиперболой, нужно, отправляясь от точки 0, построить семейство гипербол, огибающие которого ограничат времениподобную полосу ширины а (рис. 12).
С обычной точки зрения поля в этой области не независимы. В ортодоксальной квантовой теории поля рассматривают гиперплоскость (ее толщина а равна нулю, см. примеч. 84), на которой в момент t0 задают начальные условия, а ситуацию в последующие моменты определяют из уравнения Шредингера или уравнения Томонага—Швингера (см. примеч. 85).
Но сейчас я говорю совсем о другом. По Маркову и Коно, в полосе I (заштрихованная на рис. 13 полоса, заключенная между прямыми L1 и L2) полевые величины коммутируют друг с другом и их можно выбирать взаимно независимо. Принимая их за начальные условия, можно, по-видимому, определить значения поля в полосе II (на рис. 13 она заключена между прямыми L2 и L3). Связь между значениями поля в областях I и II напоминает уравнение Шредингера. Говорят, что такая программа осуществима. Я не изучал как следует этот вопрос и не знаю, нет ли здесь противоречий с теорией относительности. Пока, по-моему, противоречий не обнаружено.
Возникающее уравнение является уравнением в конечных разностях (см. примеч. 86) по временной переменной. Мой подход немного отличался — я рассматривал элементарные домены. Из-за нехватки времени не буду объяснять, что они собой представляют. При этом тоже оказывается, что физический закон, напоминающий уравнение Шредингера, записывается в виде уравнения в конечных разностях. Подробнее об этом можно прочитать в статье, опубликованной несколько лет назад в журнале Progr. Theor. Phys., Supplement (см. примеч.87). Ясных выводов в ней не сделано, но вопрос этот затронут. Обычно считают, что в отличие от общей теории относительности частная теория относительности применима на сколь угодно малых расстояниях. Здесь же получается, что при рассмотрении крайне малых областей появляется дискретность, увеличивающая число степеней свободы; именно, возникает еще одна степень свободы во времениподобном направлении.
Хорошо известный вам работающий здесь, в Японском государственном университете, доктор Нака рассмотрел времениподобную «струну» (см. примеч. 88). Его работа имеет прямое отношение к обсуждаемым вопросам. Итак, пусть нечто, напоминающее струну, натянуто во времениподобном направлении. Кое-какие ограничения на движение этой струны, конечно, имеются, но в общем она может двигаться довольно свободно. Разобьем ее мысленно на куски (рис. 14). Колебания куска А2 определяются колебаниями куска А1. Оказывается, что уравнение движения этой струны — тоже уравнение в конечных разностях. Доктор Нака исследовал этот вопрос, удачно воспользовавшись понятием дуальности (см. примеч. 89). Здесь происходит квантование, напоминающее квантование классических частиц. Если произвести еще вторичное квантование, то возникнет ситуация, о которой мы говорили.
Напомню, что мы интересовались вопросом, нельзя ли сделать так, чтобы величина, похожая на локальное поле, была коммутативна не только вне, но и кое-где внутри светового конуса. Оказалось, что ответ на этот вопрос приводит к удивительным результатам. Например, рассматривая наше поле как совокупность полей с разными массами, мы придем к распределению масс в форме волны, показанной на рис. 15, плюсы и минусы которой имеют смысл знаков метрики гильбертова пространства (см. примеч. 90): метрика отрицательна там, где отрицательна масса. К сожалению, получается, что масса изменяется непрерывно. Физический смысл этих результатов пока не выяснен.
В случае струны вторичное квантование.дает другие результаты. Если рассмотреть возбуждение нормальных колебаний струны с учетом метрики гильбертова пространства, то окажется, что при переходе от одной нормальной моды к другой метрика попеременно меняет знак, так что при учете всевозможных нормальных колебаний, по-видимому, удается доказать сходимость теории (см. примеч. 91). Эта необычная ситуация пока еще не понята.
Получается, что затронутая нами тема тесно связана с проблемой индефинитной метрики (см. примеч.92). Индефинитность означает, что метрика гильбертова пространства может быть как положительной, так и отрицательной; последнее затрудняет вероятностную интерпретацию (см. примеч. 93). Таким образом, возможно, что в ультрамикроскопических областях не имеет места унитарность.
В теории поля основную роль играет S-матрица. (Может оказаться, что кроме S-матрицы в будущую теорию необходимо ввести и другие столь же фундаментальные понятия. В частности, это может потребоваться в теории с нелокальностью.) В последнее время Окубо (США, Рочестерский университет) в связи с теорией 5-матрицы предложил четырехмерное квантование, чем я тоже давно интересовался. В этом направлении работают проф. Катаяма и проф. Токуока (Токийский университет), а первые работы принадлежат Кестеру (ФРГ), результаты которого, к сожалению, не выходят за рамки теории 5-матрицы обычного локального поля. Вообще говоря, неясно, зачем все это делается. Мне кажется, здесь нет четкого понимания цели. Но надо надеяться, что какая-то польза от этих работ будет.
Предпринимались попытки обобщить подход Кестера, в частности, этим занимался Такахаси (Канада). Деятельность этого рода в разных работах называют по-разному, и неясно, насколько различия в названиях отражают разницу содержания. Например, Окубо полагает, что он занят суперквантованием, Кестер говорит о гиперквантовании, а Намбу (США, Чикагский университет) — о третьем квантовании. Конечно, пока предмет исследований не установился, различия в названиях неизбежны. Окубо характеризует ситуацию словами: «в этом пространстве есть как упорядоченные, так и неупорядоченные точки».
Рассматриваемый ими класс пространств содержит в себе пространство Минковского (но не исчерпывается им). Пары точек в таких пространствах могут быть как упорядочены, так и неупорядочены. В обычном ньютоновом мире все пары точек, относящихся к разным моментам времени, упорядочены во времени для любых временных интервалов. В пространстве Минковского пары времениподобных точек упорядочены, а для пространственно-подобных точек временное упорядочение не имеет места. Окубо занят проблемой определения 5-матрицы в пространствах с такими свойствами упорядочения.
Не вдаваясь в подробности, отмечу лишь, что по свойствам упорядочения указанные пространства существенно отличаются от пространства Минковского. При переходе от них к пространству Минковского возникают дополнительные ограничения на пары одновременных взаимно неупорядоченных точек.
Здесь вводится, правда не в том, в каком я говорил, смысле, область конечной ширины, в которой точки одновременны друг другу, т. е. находятся друг относительно друга «в настоящем времени» (см. рис. 16). Как определить причинность в областях этого «настоящего», имеющего конечную ширину одновременности? Не нужно ли здесь поменять местами понятия времениподоб-ного и пространственно-подобного?