Вернемся к уравнению Шредингера. Это волновое уравнение. Есть еще эквивалентные ему уравнения Гейзенберга, записываемые в иной, чем уравнение Шредингера, приспособленной для описания движения частиц форме, которая напоминает канонические уравнения Гамильтона (см. примеч. 44). Разумеется, гейзенберговские уравнения выражают другие законы природы, но, случайно или нет, их можно записать в таком же виде, как и классические уравнения. В классической механике вводят скобки Пуассона (см. примеч. 45), представляющие собой дифференциальную форму (от производных по р и q) двух функций канонических переменных р и q. В теории Гейзенберга скобки Пуассона заменяются коммутатором. Например, (р,q)~[p,q]=qp—pq (здесь нужно было бы еще домножить на h, но это сведется к переобозначению константы).
Для получения уравнений Гейзенберга нужно в канонических уравнениях, записанных с использованием скобок Пуассона, заменить последние коммутаторами. В квантовой теории величины р и q — операторы, поэтому разность qp—pq не равна нулю.
Оператор действует на операнд. Операндом может быть, например, волновая функция Шредингера ψ. Все это вам, наверно, и слушать надоело. Во всех книгах об этом пишут. Волновой функции дана вероятностная интерпретация (см. примеч. 46).
Я не собираюсь вдаваться в детали, но о соотношении неопределенностей, вам, конечно, известном, все же скажу, В учебниках для его объяснения привлекают гамма-микроскоп (см. примеч. 47).
Обычно пишут ΔpΔq>h. Я опустил множитель 1/2 в правой части, но суть здесь в том, что правая часть должна быть меньше левой.
Существуют два разных вывода этого соотношения. Первый предложен Гейзенбергом, это мысленный эксперимент по определению положения электрона с помощью микроскопа. При уменьшении длины волны излучения, освещающего электрон, возрастает точность определения положения (&Deltaq уменьшается). Но при этом ввиду эффекта Комптона (см. примеч. 48) импульс электрона изменяется на неизвестную нам величину (возрастает Δp). В итоге произведение ΔpΔq не может стать меньше некоторого предела. На этом пути можно строго доказать соотношение неопределенностей. Такой вывод — одна из его интерпретаций, обычно приводящаяся в учебниках.
При другом выводе исходят из волновой функции Шредингера ψ. Если принять, что ψ достаточно мала при больших значениях координат, то математическое ожидание (среднее значение) координаты будет приблизительно равно ее значению в той области пространства, где ψ заметно отлична от нуля. Пользуясь средним значением, можно, исходя из вероятностной интерпретации волновой функции, определить средний квадрат отклонения координаты (Δq)2, квадратный корень из которого даст среднее квадратическое отклонение координаты. Выполняя такие же операции над импульсом, определяемым, как оператор дифференцирования по координате, умноженный на —ih, можно вывести соотношения неопределенностей (см. примеч. 49).
Я не уверен, что эти две интерпретации соотношения неопределенностей вполне эквивалентны друг другу. Скорее, они несколько различаются. При выводе с помощью гейзенберговского мысленного эксперимента рассматривают один электрон, находящийся в состоянии, когда по нему «ударяет» свет. При этом фактически пользуются дуализмом света как волны и частицы.
По своему этот вывод замечателен. Он утверждает, что неопределенный результат получается в каждом опыте. При выводе же с помощью волновой функции Шредингера интерпретация более привычна. Ведь ψ — амплитуда вероятности (см. примеч. 50), а понятие вероятности — статистическое. Нужно взять очень много электронов, каждый из которых находится в состоянии ψ, и делать выборки из этого ансамбля. Например, из ста тысяч электронов нужно выбрать тысячу и измерить их координаты. Результаты, естественно, получатся разные, и можно определить погрешность измерения, которая и даст значение Δq. Далее, из того же исходного ансамбля, содержащего 100 000 электронов, надо взять другую тысячу и измерить теперь импульсы. Вновь получим некий разброс значений. Все эти отклонения определяются волновой функцией ψ; соответствующий вывод соотношения неопределенностей для произведения ΔpΔq очень прост, не вызывает никаких сомнений, но ясно, что данная интерпретация отличается от интерпретации при мысленном опыте Гейзенберга. Вопрос о том, какая из них ближе к истине, остается открытым.