Задачу о расчёте координат и скоростей двух материальных точек, притягивающихся по закону всемирного тяготения, называют задачей двух тел. Поместив начало координат в точку массы m1 (первая материальная точка) и определив ускорение массы m2 (второй материальной точки) относительно этого начала, получаем уравнение:
где t - время, r - вектор с началом в первой точке и концом - во второй. Из этого уравнения следует равенство:
где V - скорость второй точки и С - постоянная, определяющая характер орбиты этой точки.
При С < 0 орбита - эллипс, причём С=-1/а (а - большая полуось эллипса). При С=0 точка движется по параболе и при С > 0 - по гиперболе. В последних двух случаях вторая точка со временем неограниченно удаляется от первой.
Частным случаем эллипса является окружность (когда эксцентриситет е равен нулю). Поскольку расстояние здесь постоянно, то из равенства (28) вытекает и постоянство скорости. Последнюю называют первой космической скоростью (VI). При С=0 соответствующую скорость называют параболической или второй космической скоростью (VII). Справедливы формулы:
Для космического летательного аппарата (КЛА), летящего параллельно поверхности Земли на высоте 200 км, первая и вторая космические скорости соответственно равны 7,8 и 11,2 км/с. Вторая космическая скорость составляет 2,4 км/с у поверхности Луны и 618 км/с - на границе солнечной фотосферы.
Если объект можно окружить сферой, на поверхности которой вторая космическая скорость равна скорости света, то его называют “черной дырой”. Радиус “чёрной дыры” однозначно определяется значением массы объекта:
Отсюда следует приближенное равенство:
где mt масса Солнца и результат получается в километрах. Для Солнца и Земли значения rg соответственно равны 3 км и 1 см.
Если у поверхности Земли ракете сообщена скорость V0>VII, то на расстоянии r от центра Земли скорость составит:
где RЕ - средний радиус Земли. Атмосферное сопротивление и притяжения Солнца и Луны не учитывались.
Третья космическая скорость (VIII) определяется как наименьшая скорость, достаточная для преодоления притяжения Земли, а затем и Солнца и выхода в космическое пространство. КЛА запускают с таким расчётом, чтобы удалившись от Земли на несколько миллионов километров, он летел в том же направлении, в каком движется вокруг Солнца Земля. Кроме того, его скорость относительно Солнца должна при этом составлять 42,1 км/с (вторая космическая скорость на расстоянии в 1 а.е. от Солнца). Это значение будет достигнуто при скорости запуска с Земли 16,7 км/с. Заметим, что последняя скорость берётся относительно Земли. Затем, после преодоления земного притяжения (практически это происходит после удаления на 2 млн. км) уменьшившаяся скорость окажется такой, чтобы сложившись с орбитальной скоростью Земли (около 29,8 км/с) она обеспечила нужное значение суммарной скорости. Сопротивление атмосферы здесь не учитывается.
При полёте КЛА с Земли к другой планете выбирают траекторию, близкую к той, что показана на рис.65 (в случае полёта к Марсу). Это - полуэллипс, касающийся снаружи орбиты Земли и изнутри - орбиты планеты (гомановская траектория).
После запуска с Земли КЛА летит по инерции под действием лишь притяжения Солнца. В случае промаха КЛА вернётся в ту же точку земной орбиты, с которой был запущен (описав полный эллипс). Большая ось эллипса равна сумме aЕ+a
больших полуосей орбит Земли и Марса. Используя третий закон Кеплера, получаем формулу для времени полёта к Марсу:
где величина a = 1,524 а.е., а время t выражено в орбитальных периодах Земли (то есть сидерических годах продолжительностью 365,256 средних солнечных суток). Расчёт дает значение t=0,708 (259 ср. солн. суток). Аналогичные формулы применяют для приближенной оценки времени полёта и к другим планетам. Орбиты планет в этих случаях считаются круговыми.