Книга отражает современное развитие теоретико-групповых методов применительно к задачам математической физики. Она включает теорию инвариантов групп преобразований в римановых пространствах и групповой анализ уравнений Эйнштейна. Изучаются алгебро-геометрические аспекты принципа Гюйгенса и законов сохранения. Излагаются основы теории формальных групп преобразований Ли—Беклунда, инвариантных дифференциальных многообразий и проводится групповая классификация нелинейных дифференциальных уравнений. Рассчитана на математиков, физиков и механиков, интересующихся вопросами качественного анализа дифференциальных уравнений.
1.1. Топологические группы
1.2. Группы Ли
1.3. Локальные группы
1.4. Локальные группы Ли
2.1. Определения
2.2. Алгебры Ли и локальные группы Ли
2.3. Внутренние автоморфизмы
2.4. Теорема Леви — Мальцева
3.1. Локальные группы преобразований
3.2. Уравнение Ли
3.3. Инварианты
3.4. Инвариантные многообразия
§ 4. Инвариантные дифференциальные уравнения
4.1. Продолжение точечных преобразований
4.2. Определяющее уравнение
4.3. Инвариантные и частично инвариантные решения
4.4. Метод инвариантных мажорант
6.1. Локальные римановы многообразия
6.2. Произвольные движения в Vn
6.3. Дефект группы движений в Vn
6.4. Инвариантное семейство пространств
7.1. Изометрии
7.2. Конформные движения
7.3. Движения с δ=2
7.4. Неконформные движения с δ=1
7.5. Движения с заданными инвариантами
§ 8. Римановы пространства с нетривиальной конформной группой
8.1. Конформные пространства
8.2. Пространства постоянной кривизны
8.3. Конформно-плоские пространства
8.4. Пространства с определенной метрикой
8.5. Лоренцевы пространства
§ 9. Групповой анализ уравнений Эйнштейна
9.1. Гармонические координаты
9.2. Группа, допускаемая уравнениями Эйнштейна
9.3. Разложение Ли — Вессио
9.4. Точные решения
§10. Конформно-инвариантные уравнения второго порядка
10.1. Предварительные рассмотрения
10.2. Линейные уравнения в Sn
10.3. Полулинейные уравнения в Sn
10.4. Уравнения с группой изометрий максимального порядка
10.5. Волновое уравнение в лоренцевых пространствах
§11. Общие рассмотрения и история вопроса
11.1. Проблема Адамара
11.2. Критерий Адамара
11.3. Теорема Матиссона — Асгейрссона
11.4. Необходимые условия Гюнтера и Макленагана
11.5. Преобразование Лагнеза — Штельмахера
11.6. Современное состояние и обобщения проблемы Адамара
12.1. Вычисление геодезического расстояния в метрике плоской волны
12.2. Конформная инвариантность и принцип Гюйгенса
12.3. Решение задачи Коши
12.4. Случай тривиальной конформной группы
13.1. Предварительный анализ решения
13.2. Преобразование Фурье функции Бесселя J0(a|μ|)
13.3. Метод спуска. Представление решения для произвольных п
13.4. Обсуждение принципа Гюйгенса
13.5. Нарушение связи принципа Гюйгенса с конформной инвариантностью
§14. Касательные преобразования Ли и теорема Беклунда
14.1. Контактные преобразования
14.2. Касательные преобразования конечного порядка
14.3. Преобразование Бианки — Ли
14.4. Преобразования Беклунда. Примеры
14.5. Понятие касательных преобразований бесконечного порядка
15.1. Уравнение Ли для формальных однопараметрических групп
15.2. Инварианты и инвариантные многообразия
§16. Однопараметрические группы преобразований Ли — Беклунда
16.1. Определение и инфинитезимальный критерий
16.2. Операторы Ли — Беклунда. Канонический оператор
16.3. Примеры
§17. Инвариантные дифференциальные многообразия
17.1. Критерий инвариантности
17.2. Примеры решения определяющего уравнения
17.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения
17.4. Теорема об изоморфизме
17.5. Линеаризация преобразованиями Ли — Беклунда
18.1. Уравнение теплопроводности
18.2. Уравнение Кортевега — де Фриза
18.3. Уравнение пятого порядка
18.4. Волновое уравнение
19.1. Алгебра AF
19.2. Формула Фаа де Бруно
19.3. Алгебра LF
19.4. Преобразования эквивалентности
§ 20. Анализ эволюционных уравнений второго и третьего порядка
20.1. m=2
20.2. m=3
20.3. Две системы нелинейных уравнений
§ 21. Уравнение F(х,у,z,р,q,r,s,t) = 0
21.1. Анализ общего случая
21.2. Классификация уравнений s=F(z)
21.3. Система двух нелинейных уравнений
22.1. Тождество Нётер
22.2. Теорема Нётер
22.3. Инвариантность на экстремалях
22.4. Действие присоединенной алгебры
22.5. Интегралы эволюционных уравнений
23.1. Движение в пространстве де Ситтера
23.2. Уравнение utt+Δ2u=0
23.3. Нестационарное околозвуковое течение газа
23.4. Короткие волны
24.1. Законы сохранения в релятивистской механике
24.2. Нелинейное волновое уравнение
24.3. Уравнение Дирака
25.1. Свободное движение частицы
25.2. Идеальный газ
25.3. Несжимаемая жидкость
25.4. Течение мелкой воды
25.5. Базис законов сохранения для уравнения КдФ