Лекция 1. Уравнения в частных производных
1.1 Основные понятия
1.2 Примеры из физики:
Колебания струны
Гидродинамика идеальной жидкости
Уравнения Максвелла
Уравнение Шредингера
Уравнение теплопроводности
1.3 Методы решения
Лекция 2. Уравнения первого порядка
2.1 Линейные уравнение
Однородное уравнение
Задача Коши
Неоднородное уравнение
2.2 Квазилинейные уравнения
Уравнение Хопфа
2.3 Нелинейные уравнения
Уравнение Гамильтона-Якоби
Лекция 3. Системы линейных уравнений
3.1 Характеристики
3.2 Инварианты Римана
3.3 Канонический вид
3.4 Формула Даламбера
3.5 Неоднородное волновое уравнение
4.1 Преобразование годографа
4.2 Потенциал χ
4.3 Политропный газ
Лекция 5. Канонический вид уравнений 2-го порядка
5.1 Случай двух переменных
5.2 Случай многих переменных
Лекция 6. Автомодельность и бегущие волны
6.1 Понятие автомодельности
6.2 Примеры
Линейное уравнение теплопроводности
Нелинейное уравнение теплопроводности
Уравнение Бюргерса
Уравнение Кортевега - де Фриза
Лекция 7. Разделение переменных
7.1 Полное разделение переменных
7.2 Метод Фурье
Лекция 8. Цилиндрические функции
8.1 Задача о круглой мембране
8.2 Функции Бесселя
Разложение в ряд
Рекуррентное соотношение
Интегральные представления
Соотношение ортогональности
9.1 Частица в центральном поле
9.2 Функции Лежандра
9.3 Сферические функции Бесселя
Лекция 10. Аналитическая теория
10.1 Канонический вид
10.2 Обыкновенная точка
10.3 Особая точка
10.4 Теорема Фукса
10.5 Уравнения класса Фукса
Лекция 11. Гипергеометрические функции
11.1 Функция Гаусса
11.2 Вырожденная гипергеометрическая функция
11.3 Примеры
Уравнение Лежандра
Уравнение Бесселя
Линейный осциллятор
Атом водорода
11.4 Полиномы Лагерра
Лекция 12. Асимптотические методы
12.1 Асимптотическое разложение
12.2 Интеграл Лапласа
12.3 Метод стационарной фазы
13.1 Седловая точка
13.2 Топологический и аналитический этапы
13.3 Примеры
14.1 Усредненное уравнение
14.2 Метод Боголюбова-Крылова
14.3 Примеры
15.1 Квазиклассическое приближение
15.2 Простая точка поворота
Свойства матрицы перехода
15.3 Две простых точки поворота
Приложение А. Сводка формул по специальным функциям
А.1 Функция Эйлера
А.2 Гипергеометрические функции
Функция Гаусса
Функция 1F1
А.З Цилиндрические функции
Функции Jν и Yν
Функции Бесселя целого порядка Jn
Модифицированная функция Бесселя Iν и функция Макдональда Kν
А.4 Ортогональные полиномы
Функции Pl и Рlm
Полиномы Эрмита Нn
Полиномы Лaгeppa Lnν