Каталог сайтов Arahus.com

М.М. Постников. Лекции по геометрии

Семестр II. Линейная алгебра. М.: Наука, 1986. - 400 с.

На главную страницу | Алгебра

Титульная страница

Предисловие

Лекция 1

Линейные пространства. — Подпространства. — Пересечение подпространств.— Линейные оболочки. — Сумма подпространств.— Размерность подпространства. — Размерность суммы подпространств. — Размерность линейной оболочки.

Лекция 2

Теорема о ранге матрицы. — Ранг произведения матриц. — Теорема Кронекера — Капелли. — Решение систем линейных уравнений.

Лекция 3

Прямые суммы подпространств. — Разложение пространства в прямую сумму подпространств. — Факторпространства. — Гомоморфизмы линейных пространств. — Прямые суммы пространств.

Лекция 4

Сопряженное пространство. — Двойственные пространства. — Второе сопряженное пространство. — Преобразование сопряженного базиса и координат ковекторов. — Аннуляторы. — Пространство решений системы однородных линейных уравнений. — Аннулятор аннулятора и аннуляторы прямых слагаемых.

Лекция 5

Билинейные функционалы. — Корреляции. — Невырожденные билинейные функционалы. — Пространства со скалярным умножением.— Теорема об изоморфизме. — Метрические коэффициенты и взаимные базисы. — Пространство билинейных функционалов.— Билинейные функционалы от ковекторов. — Смешанные билинейные функционалы.

Лекция 6

Полилинейные функционалы. — Тензоры. — Алгебра тензоров.— Базис пространства тензоров. — Свертка тензоров. — Тензоры в пространстве с невырожденным скалярным умножением. — Подъем и спуск индексов.

Лекция 7

Подстановки. — Поливекторы. — Базисные поливекторы.— Внешние произведения унимодулярно эквивалентных семейств векторов. — Отождествление поливекторов с классами унимодулярно эквивалентных семейств векторов.

Лекция 8

Кососимметрические тензоры. — Поливекторы степеней n и n — 1. — Плюккеровы координаты подпространств.

Лекция 9

Плоскости в аффинной пространстве. — Плоскости в проективном пространстве. — Многообразия Грассмана.

Лекция 9a

Внешнее произведение кососимметрического тензора на вектор. — Корректность его определения. — Ассоциированные векторы. — Соотношения Плюккера.

Лекция 9б

Достаточность соотношений Плюккера. — Внешнее умножение произвольных кососимметрических тензоров. — Алгебра Грассмана. — Оператор Ходжа.—Свойства оператора Ходжа.

Лекция 10

Кососимметрические билинейные функционалы.— Пфаффиан кососимметрической матрицы. — Симплектические пространства. — Симплектическая группа. — Изотропные подпространства.

Лекция 11

Симметрические билинейные функционалы. — Квадратичные функционалы и квадратичные формы. — Теорема Лагранжа..

Лекция 12

Теорема Якоби. — Квадратичные формы над полями комплексных и вещественных чисел. — Закон инерции. — Положительно определенные квадратичные функционалы и формы.

Лекция 12a

Псевдоевклидовы пространства. — Псевдоортонормированные базисы и псевдоортогональные матрицы. — Собственно псевдоевклидова геометрия плоскости. — Углы на псевдоевклидовой плоскости. — Парадокс близнецов.

Лекция 12б

Ориентации линейных пространств и компоненты группы CL(n).— Ориентации евклидовых пространств. — Ориентации псевдоевклидовой плоскости. — Условия псевдоортогональности матрицы. — Ориентации псевдоевклидовых пространств. — Компоненты группы О(р,q).

Лекция 12в

Модель геометрии Лобачевского на сфере псевдоевклидова пространства.— Модель Бельтрами.— Модель Пуанкаре.— Модели Пуанкаре гиперболической плоскости.

Лекция 13

Проективные гиперквадрики. — Конусы в проективном пространстве.— Перечисление проективных гиперквадрик. — Гиперквадрики в комплексном и вещественно-комплексном проективном пространстве. — Цилиндры и конусы в аффинном пространстве. — Аффинные гиперквадрики. — Гиперквадрики, имеющие центр.

Лекция 13а

Гиперквадрики, не имеющие центра. — Перечисление аффинных гиперквадрик. — Гиперквадрики в комплексном пространстве. — Гиперквадрики в вещественно-комплексном пространстве. — Плоскости, содержащиеся в гиперквадрике. — Оценка их размерности. — Степень планарности центральных гиперквадрик. — Степень планарности параболоидов.

Лекция 13б

Асимптотические к неасимптотические векторы. — Касательные. — Особые точки. — Характеризация неасимптотических направлений. — Асимптотический конус гиперквадрики. — Диаметральные плоскости. — Теорема единственности.

Лекция 14

Линейные операторы и смешанные билинейные функционалы. — Алгебра линейных операторов. — Дефект и ранг линейного оператора. — Идемпотентные операторы. — Сумма, разность и произведение идемпотентов.

Лекция 15

Матрица линейного оператора. — Переход к другому базису. — След оператора. — Сопряженный оператор. — Невырожденные операторы. — Изометрии и их матрицы.

Лекция 16

Инвариантные подпространства. — Собственные векторы. — Характеристический многочлен и характеристические корни. — Алгебраическая кратность собственного значения. — Теорема о прямой сумме.— Диагонализируемые операторы. — Операторы с простым спектром.

Лекция 17

Операторы со спектром в поле К. — Нильпотентные и циклические операторы. — Корневые подпространства. — Корневое разложение. — Жорданова нормальная форма.

Лекция 18

Теорема Гамильтона — Кэли. — Комплексификация линейного оператора.— Собственные подпространства, принадлежащие характеристическим корням. — Комплекснодиагонализируемые операторы.

Лекция 18a

gl2-модули. — Весовые и примитивные элементы. — Простые gl2-модули. — Теорема разложения и ее следствия.

Лекция 19

Полулинейные изоморфизмы. — Полулинейные функционалы. — Обобщенные тензоры. — Полуторалинейные функционалы. — Эрмитовы фукционалы. — Эрмитовы матрицы и формы.

Лекция 20

Унитарные пространства. — Пространство, сопряженное унитарному пространству. — Сопряженные операторы. — Самосопряженные операторы. — Положительные операторы.

Лекция 20a

Самосопряженные проекторы. — Ортогональные проекторы.

Лекция 21

Спектральные свойства самосопряженных операторов. — Ортогональная диагонализируемость самосопряженных операторов. — Приведение квадратичных и эрмитовых форм к нормальному виду. — Одновременное приведение к нормальному виду двух квадратичных форм. — Характеризация положительных операторов.

Лекция 21a

Гиперквадрики в n-мерном евклидовом пространстве. — Минимаксное свойство собственных значений. — Классификация эллипсоидов. — Главные направления и завершение классификации евклидовых гиперквадрик.

Лекция 22

Изометрические операторы. — Унитарные матрицы. — Теорема о полярном разложении. — Нормальные операторы в унитарном пространстве. — Ортогональная диагонализируемость унитарных операторов. — Связность групп GL(n;C) и U(n).

Лекция 23

Комплексификация евклидова пространства. — Нормальные операторы в евклидовом пространстве. — Приведение к нормальному виду ортогональных операторов. — Аффинные и ортогональные преобразования. — Параллельные переносы и центроаффинные преобразования. — Вращения и несобственные вращения.

Лекция 24

Спиноры и спинтензоры. — Спинорная модель геометрии Минковского. — Гомоморфизм SL (2; С) — О(1,3). — Спинорная модель трехмерной геометрии Евклида. — Кватернионы. — Гомоморфизм SU(2) — SO(3). —Доказательство предложения 1. — Гомоморфизм SL (2; R) — О(1, 2).

Лекция 25

Овеществления и комплексные структуры. — Ориентация ове¬ществленного пространства. — Овеществление унитарного про¬странства. — Операторы L и L. — Теорема Лефшеца.

 

На главную страницу | Алгебра

Используются технологии uCoz