На главную страницу | Геометрия
Связность на многообразии. — Ковариантное дифференцирование и параллельный перенос вдоль кривой. — Геодезические. — Экспоненциальное отображение и нормальные окрестности. — Теорема Уайтхеда
Ковариантные дифференцирования относительно связности на многообразии. — Случай тензоров типа (г, 1). — Тензор кручения и симметрические связности. — Геометрический смысл симметричности связности. — Перестановочность вторых ковариантных производных. — Тензор кривизны аффинной связности. — Пространства с абсолютным параллелизмом. — Тождества Бианки. — След тензора кривизны. — Тензор Риччи
Аффинные отображения. — Аффиннитеты. — Аффинные накрытия. — Ограничение связности на подмногообразие. — Индуцированная связность на нормализованном подмногообразии. — Формула Гаусса и вторая основная форма нормализованного Подмногообразия. — Вполне геодезические и автопараллельные подмногообразия. — Нормальная связность и формула Вейнгартена. — Связность ван дер Вардена — Бортоллоти
Формы кручения и кривизны. — Структурные уравнения Картана в полярных координатах. — Существование аффинных локальных отображений. — Локально симметрические пространства аффинной связности. — Локальные геодезические симметрии. — Полусимметрические пространства
Глобально симметрические пространства. — Ростки гладких отображений. — Распространение аффинных отображений. — Теорема единственности. — Редукция локально симметрических пространств к глобально симметрическим пространствам. — Свойства симметрий в глобально симметрических пространствах. — Симметрические пространства. — Примеры симметрических пространств. — Совпадение классов симметрических и глобально симметрических пространств
Инвариантная конструкция канонической связности. — Морфизмы симметрических пространств как аффинные отображения. — Левоинвариантные связности на группе Ли. — Связности Картана. — Левая связность Картана. — Правоинвариантные векторные поля. — Правая связность Картана
Категории. — Функторы. — Функтор Ли. — Ядро и образ гомоморфизма групп Ли. — Теорема Кемпбелла — Хаусдорфа. — Многочлены Дынкина. — Групускулы Ли. — Биективность функтора Ли
Аффинные поля. — Размерность алгебры Ли аффинных полей. — Полнота аффинных полей. — Отображения левого и правого сдвига на симметрическом пространстве. — Дифференцирования на многообразиях с умножением. — Алгебра Ли дифференцирований. — Инволютивный автоморфизм алгебры дифференцирований симметрического пространства. — Симметрические алгебры и тернары Ли. — Тернар Ли симметрического пространства
Функтор s. — Сравнение функтора в с функтором Ли l. — Свойства функтора s. — Вычисление тернара Ли пространства (G/H)σ. — Фундаментальная группа факторпространства. — Симметрическое пространство с данным тернаром Ли. — Накрытия (G/H)! - (G/H)2. — Теорема Картана. — Отождествление однородных пространств с факторпространствами. — Трансляции симметрического пространства. — Доказательство теоремы Картана
Бесконечномерные многообразия и группы Ли. — Векторные поля, индуцированные действием группы Ли. — Теорема Пале. — Теорема Кобаяси. — Группа аффинных автоморфизмов. — Группа автоморфизмов симметрического пространства. — Группа трансляций симметрического пространства
Римановы и псевдоримановы пространства. — Римановы связности. — Геодезические в римановом пространстве. — Простейшая задача вариационного исчисления. — Уравнения Эйлера — Лагранжа. — Кривые минимума и экстремали. — Регулярные лагранжианы. — Экстремали лагранжиана энергии
Длина кривой в римановом пространстве. — Натуральный параметр. — Риманово расстояние и кратчайшие. — Экстремали лагранжиана длины. — Римановы координаты. — Лемма Гаусса. — Геодезические — локально кратчайшие. — Гладкость кратчайших. — Локальное существование кратчайших. — Внутренняя метрика. — Теорема Хопфа — Ринова
Риманов элемент объема. — Дискриминантный тензор. — Формула Фосса — Вейля. — Случай n = 2. — Оператор Лапласа в римановом пространстве. — Формулы Грина. — Существование гармонических функций с отличным от нуля дифференциалом. — Сопряженные гармонические функции. — Изотермические координаты. — Полудекартовы координаты. — Декартовы координаты
Конформные координаты. — Конформные структуры. — Минимальные поверхности. — Объяснение их названия. — Задача Плато. — Свободные релятивистские струны. — Простейшая задача вариационного исчисления для функций двух переменных. — Экстремали функционала площади. — Случай n = 3. — Представление минимальных поверхностей с помощью голоморфных функций. — Формулы Вейерштрасса. — Присоединенные минимальные поверхности
Риманов тензор кривизны. — Симметрии риманова тензора. — Риманов тензор как функционал. — Тождество Уокера и его следствия. — Рекуррентные пространства. — Виртуальные тензоры кривизны. — Восстановление тензора Бианки по его значениям на бивекторах. — Секционные кривизны. — Формула для секционной кривизны
Тензоры Бианки как операторы. — Отщепление бесследных тензоров. — Гауссова кривизна и скалярная кривизна. — Тензор кривизны при n = 2. — Геометрическая интерпретация секционной кривизны. — Полная кривизна области на поверхности. — Вращение векторного поля иа кривой. — Вращение поля касательных векторов. — Формула Гаусса — Бонне. — Триангулируемые поверхности. — Теорема Гаусса — Бонне
Характеристические числа. — Характеристическое число Эйлера. — Оператор Ходжа. — Число Эйлера 4m-мерного многообразия. — Эйлерова характеристика многообразий произвольной размерности. — Теорема о сигнатуре. — Тензор Риччи риманова пространства. — Тензор Риччи тензора Бианки. — Тензоры Эйнштейна и Вейля. — Случай n = 3. — Пространства Эйнштейна. — Критерий Томаса
Конформные преобразования метрики. — Тензор конформной кривизны. — Конформные эквивалентности. — Конформно плоские пространства. — Конформно эквивалентные поверхности. — Классификация поверхностей с конформной структурой
Локально изометрические отображения римановых пространств. — Метрические накрытия. — Теорема о растягивающих отображениях. — Изометрические отображения римановых пространств. — Группа иэометрий риманова пространства. — Эллиптическая геометрия. — Доказательство предложения 1 лекции 18. — Размерность группы изометрий. — Поля Киллинга. — Риманова связность на подмногообразии риманова пространства. — Формулы Гаусса и Вейнгартена для подмногообразий римановых пространств. — Нормаль средней кривизны. — Соотношения Гаусса, Петерсона — Кодацци и Риччи. — Случай, когда объемлющее пространство плоско
Локально симметрические подмногообразия. — Компактные подмногообразия. — Теорема Чженя — Кюипера. — Первая и вторая квадратичные формы гиперповерхности. — Гиперповерхности, все точки которых омбиличны. — Главные кривизны гиперповерхности. — Скалярная кривизна гиперповерхности. — Гиперповерхности, являющиеся пространствами Эйнштейна. — Жесткость сферы
Достаточное условие жесткости гиперповерхностей. — Гиперповерхности с данной второй основной формой. — Гиперповерхности с данными первой и второй основными формами. — Доказательство их единственности. — Доказательство их существования. — Доказательство локального варианта теоремы существования и единственности
Пространства постоянной кривизны. — Модельные пространства постоянной кривизны. — Модельные пространства как гиперповерхности. — Изометрии модельных пространств. — Неподвижные точки изометрий. — Теорема Римана
Пространственные формы. — Теорема Картана — Киллиига. — (Псевдо)римановы симметрические пространства. — Классификация пространственных форм. — Сферические формы четной размерности. — Ориентируемые пространственные формы. — Комплексно аналитические и конформные фактормногообразия. — Римановы пространства с группой изометрий максимальной размерности. — Их перечисление. — Условие полной подвижности
Тензоры Бианки при n = 4. — Матричное представление тензоров Бианки при n = 4. — Явный вид тензоров Бианки при n = 4. — Числа Эйлера при n = 4. — Теорема Чженя — Милнора. — Секционные кривизны четырехмерных пространств Эйнштейна. — Теорема Берже. — Число Понтрягина четырехмерного риманова пространства. — Теорема Торпа. — Теорема Сентенак
Левоинвариантные метрики на группе Ли. — Инвариантные метрики на группе Ли. — Полупростые группы и алгебры Ли. — Простыв группы и алгебры Ли. — Внутренние дифференцирования алгебр Ли. — Присоединенная группа. — Группы и алгебры Ли без центра
Формы Маурера—Картана. — Левоинвариантные дифференциальные формы. — Мера Хаара на группе Ли. — Унимодулярные группы Ли. — Инвариантные римановы метрики на компактной группе Ли. — Группы Ли с компактной алгеброй Ли. — Теорема Вейля
Сопряженные точки. — Вторая вариация длины. — Формула для второй вариации. — Редукция задачи. — Минимальные поля и поля Якоби. — Вариация Якоби. — Поля Якоби и сопряженные точки. — Свойства полей Якоби. — Минимальность нормальных полей Якоби. — Доказательство теоремы Якоби
Точки схода. — Лемма о непрерывности. — Локусы схода и максимальные нормальные окрестности. — Доказательство леммы 1. — Пространства строго положительной кривизны Риччи. — Теорема Майерса. — Пространства строго положительной секционной кривизны. — Пространства неположительной секционной кривизны
Теорема Картана — Адамара. — Ее следствия. — Теорема Картана — Киллинга при К = 0. — Теорема Бохнера. — Операторы АX. — Инфинитезимальный вариант теоремы Бохнера. — Группа изометрий компактного метрического пространства
На главную страницу | Геометрия